В прошлых уроках мы научились решать квадратные уравнения. Для этого потребовалось ввести новый математический объект — дискриминант. Если вы не помните, что это такое, рекомендую вернуться к уроку «Как решать квадратные уравнения».
Для начала определение, что вообще такое биквадратное уравнение — это любое выражение, где переменная присутствует только в 4-ой и во 2-ой степени.
Как считать такие биквадратные конструкции? Схема состоит из пяти шагов. Все шаги очень легкие и очень быстрые:
1)вводим новую переменную ${{x}^{2}}=t$. В этом случае, возведя обе части этого уравнения в квадрат, мы получим
\[\begin{align}& {{({{x}^{2}})}^{2}}={{t}^{2}} \\& {{x}^{4}}={{t}^{2}} \\\end{align}\]
2)переписываем наше выражение — $a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+4=0\to a{{t}^{2}}+bt+c=0$
3)находим решение для полученного уравнении и находим переменные ${{t}_{1}}$ и ${{t}_{2}}$, если корней будет два.
4)выполняем обратную замену, т. е. вспоминаем, что такое $t$, получаем две конструкции: ${{x}^{2}}={{t}_{1}}$ и ${{x}^{2}}={{t}_{2}}$.
5)решаем полученные уравнения и находим иксы.
Давайте посмотрим, как эта схема работает на настоящих биквадратных уравнениях.
Решаем первую задачу:
\[{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4=0\]
Вводим новую переменную и переписываем:
\[{{x}^{2}}=t\to {{t}^{2}}-5t+4=0\]
Это обычное квадратное уравнение, посчитаем его с помощью дискриминанта:
\[D={{(-5)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9\]
Это хорошее число. Корень равен 3.
Теперь находим значение $t$:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
{{t}_{1}}\text{ }=\text{ }\frac{5+3}{2}=\text{ }\frac{8}{2}\text{ }=\text{ }4 \\{{t}_{2}}\text{ }=\frac{5-3}{2}=\text{ }\frac{2}{2}\text{= }1 \\\end{array}\]
Но будьте внимательны, мы нашли только $t$ — это не решение, это только третий шаг. Переходим к четвертому шагу — вспоминаем, что такое $t$ и решаем:
\[\begin{align}& {{x}^{2}}=4\to {{x}^{2}}-4=0\to (x-2)(x+2)=0 \\& \left[ \begin{align}& x=2 \\& x=-2 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]
Вот мы и решили первую часть. Переходим ко второму значению $t$:
\[\begin{align}& {{x}^{2}}=1\to {{x}^{2}}-1=0\to (x-1)(x+1)=0 \\& \left[ \begin{align}& x=1 \\& x=-1 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]
Итого у нас вышло четыре ответа: 2; -2; 1; -1, т.е. биквадратное уравнение может иметь до четырех корней.
Переходим ко второму примеру:
\[{{x}^{4}}-25{{x}^{2}}+144=0\]
Тут я не буду подробно все расписывать. Давайте решать так, как бы мы делали это в классе.
Заменяем:
\[{{x}^{2}}=t\]
Тогда у нас выйдет:
\[{{t}^{2}}-25t+144=0\]
Считаем$D$:
\[D=\text{ }625\text{ }-\text{ }4\text{ }\cdot \text{ }144\text{ }=\text{ }49\]
Корень из дискриминанта равен 7. Найдем $t$:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
{{t}_{1}}\text{ }=\frac{25+7}{2}\text{ }=\text{ }\frac{32}{2}=\text{ }16 \\{{t}_{2}}\text{ }=\frac{25-7}{2}=\text{ }\frac{18}{2}\text{ }=\text{ }9 \\\end{array}\]
Вспоминаем, что такое $t$:
\[\begin{align}& {{x}^{2}}=16 \\& \left[ \begin{align}& x=4 \\& x=-4 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]
Второй вариант:
\[\begin{align}& {{x}^{2}}=9 \\& \left[ \begin{align}& x=3 \\& x=-3 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]
Вот и все. У нас снова четыре ответа: 4; -4; 3; -3.
Переходим к последнему биквадратному уравнению:
\[{{x}^{4}}-\frac{5}{4{{x}^{2}}}+\frac{1}{4}=0\]
Опять же вводим замену:
\[{{x}^{2}}=t\]
Тогда:
\[{{t}^{2}}-\frac{5}{4t}+\frac{1}{4}=0\]
Давайте умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:
\[4{{t}^{2}}-5t+1=0\]
Найдем $D$:
\[D=\text{ }25\text{ }-\text{ }16\text{ }=\text{ }9\]
Корень из дискриминанта равен трем:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
{{t}_{1}}\text{ }=\text{ }\frac{5+3}{2\cdot 4}=\text{ }\frac{8}{8}\text{ }=\text{ }1 \\{{t}_{2}}\text{ }=\frac{5-3}{2\cdot 4}=\text{ }\frac{2}{8}=\text{ }\frac{1}{4} \\\end{array}\]
Считаем иксы. Вспоминаем, что такое $t$:
\[\begin{align}& {{x}^{2}}=1 \\& \left[ \begin{align}& x=1 \\& x=-1 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]
Второй вариант чуть посложнее:
\[\begin{align}& {{x}^{2}}=\frac{1}{4} \\& \left[ \begin{align}& x=\frac{1}{2} \\& x=-\frac{1}{2} \\\end{align} \right. \\\end{align}\]
Мы получили снова четыре корня:
\[1;\text{ }-1;\text{ }\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\]
Вот так решаются все биквадратные уравнения. Конечно, это не самый быстрый способ, зато он самый надежный. Попробуйте самостоятельно прорешать такие же примеры, как и в этом видео. В ответе значения иксов нужно записывать через точку с запятой — вот так, как я записывал. На этом урок закончен. Удачи!
