В этом уроке вы узнаете, что такое положительно определённые и отрицательно определённые квадратичные функции. Мы разберём критерий Сильвестра — универсальное правило, которое позволяет одно от другого.
Содержание:
Критерий Сильвестра тесно связан с формулой Якоби. Поэтому в уроке будут встречаться такие объекты как угловые миноры. Если вам непонятно, что это такое, см. урок «Формула Якоби».
Определение 1. Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\mathbb{R}$. Квадратичная функция $q:V\to \mathbb{R}$ называется
- положительно определённой, если для любого вектора $x\ne 0$ имеем $q\left(x \right) \gt 0$.
- отрицательно определённой, если для любого вектора $x\ne 0$ имеем $q\left(x \right) \gt 0$.
- положительно полуопределённой, если для любого вектора $x\ne 0$ имеем $q\left(x \right)\ge 0$.
- отрицательно полуопределённой, если для любого вектора $x\ne 0$ имеем $q\left(x \right)\le 0$.
В случае когда квадратичная функция $q\left(x \right)$ принимает разные знаки, её называют неопределённой.
Определение 2. Симметрическая билинейная функция $\beta :V\times V\to \mathbb{R}$ называется положительно определённой (или отрицательно определённой), если ассоциированная с ней квадратичная функция $q:V\to \mathbb{R}$ положительно определена (или, соответственно, отрицательно определена).
Прежде всего нас будут интересовать положительно определённые квадратичные функции. Очевидно, что в $n$-мерном пространстве нормальный вид таких функций будет следующим:
\[q\left(x \right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\]
Положительно определённой функцией является любая квадратичная форма, состоящая из точных квадратов:
\[\begin{align}{{q}_{1}}\left( x \right)&=x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \\ {{q}_{2}}\left( x \right)&=5x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+12x_{3}^{2} \\ \end{align}\]
Возможны и более сложные случаи, если они легко сводятся к точным квадратам:
\[\begin{align}{{q}_{3}}\left( x \right)&=x_{1}^{2}+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2}= \\ &={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}} \\ {{q}_{4}}\left( x \right)&=x_{1}^{2}-6{{x}_{1}}{{x}_{2}}+12x_{2}^{2}= \\ &={{\left( {{x}_{1}}-3{{x}_{2}} \right)}^{2}}+3x_{2}^{2} \end{align}\]
В общем случае можно привести матрицу квадратичной функции $q\left( x \right)$ к диагональному виду. Если все числа на главной диагонали будут положительны, то квадратичная функция $q\left( x \right)$ положительно определена.
Но это долго и чревато большим количеством ошибок. Поэтому есть способ быстрее и проще — критерий Сильвестра.:)
Критерий Сильвестра позволяет выяснить, является ли данная квадратичная функция положительно определённой, отрицательно определённой или общего вида. Для этого нам потребуется лишь посчитать угловые миноры ${{\Delta }_{1}},\ldots ,{{\Delta }_{n}}$ для матрицы $A$ квадратичной функции. Если вы забыли, что такое угловые миноры, см. урок «Формула Якоби». А сейчас — ключевая теорема.
Теорема. (Критерий Сильвестра). Симметрическая билинейная функция $\beta :V\times V\to \mathbb{R}$ является положительно определённой тогда и только тогда, когда все угловые миноры ${{\Delta }_{i}}$ её матрицы $A$ в произвольном базисе $\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{n}} \right\}$ являются положительными:
\[{{\Delta }_{1}}={{a}_{1,1}} \gt 0\quad \ldots \quad {{\Delta }_{n}}=\det A \gt 0\]
Поскольку это критерий, т.е. в его формулировке присутствует конструкция «тогда и только тогда», доказательство разделяется на две части: необходимость и достаточность.
1. Докажем необходимость. Пусть симметрическая билинейная функция $\beta $ является положительно определённой. Докажем необходимость индукцией по $n=\dim V$.
При $n=1$ всё очевидно: матрица билинейной функции $\beta $ в любом базисе представляет собой одну клетку $A=\left[ {{a}_{1,1}} \right]$, а в координатной записи получим
\[\begin{align}q\left( x \right)&={{a}_{1,1}}x_{1}^{2} \gt 0 \\ {{\Delta }_{1}}&={{a}_{1,1}} \gt 0 \end{align}\]
Предположим, что теорема верна для $n=k$: если симметрическая билинейная функция $\beta $ положительно определена, то её угловые миноры положительны:
\[{{\Delta }_{1}} \gt 0\quad \ldots \quad {{\Delta }_{k}} \gt 0\]
Докажем теорему для $n=k+1$. Пусть $\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k+1}} \right\}$ — произвольный базис пространства $V$. Пусть симметрическая билинейная функция $\beta $ в этом базисе задана матрицей $A$ с угловыми минорами ${{\Delta }_{1}},\ldots ,{{\Delta }_{k+1}}$. Рассмотрим подпространство
\[U=\operatorname{span}\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}} \right\}\]
Поскольку функция $\beta $ положительно определена на всём пространстве $V$, её ограничение $\beta {{|}_{U}}$ на подпространство $U$ тоже положительно определено. Матрица ограничения $\beta {{|}_{U}}$ (назовём её $A{{|}_{U}}$) получается из матрицы $A$ вычёркиванием последней строки и последнего столбца:
\[A=\left[ \begin{array}{ccc|c} {{a}_{1,1}} & \cdots & {{a}_{1,k}} & \color{red}{{a}_{1,k+1}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \color{red}{\cdots} \\ {{a}_{k,1}} & \cdots & {{a}_{k,k}} & \color{red}{{a}_{k,k+1}} \\ \hline \color{red}{{a}_{k+1,1}} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{{a}_{k+1,k}} & \color{red}{{a}_{k+1,k+1}} \\ \end{array} \right]\]
Видно, что угловые миноры ${{\Delta }_{1}},\ldots ,{{\Delta }_{k}}$ у матриц $A$ и $A{{|}_{U}}$ совпадают. Однако $\dim U=k$, а по предположению индукции для положительно определённой $\beta {{|}_{U}}$ все угловые миноры положительны:
\[{{\Delta }_{1}}={{a}_{1,1}} \gt 0\quad \ldots \quad {{\Delta }_{k}}=\det \left( A{{|}_{U}} \right) \gt 0\]
Осталось доказать, что минор ${{\Delta }_{k+1}}=\det A \gt 0$.
По теореме о диагональной матрице обязательно найдётся базис $\left\{ {{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{k+1}} \right\}$ такой, что матрица $B$ билинейной функции $\beta $ в этом базисе диагональна:
\[B=\left[ \begin{matrix}{{b}_{1,1}} & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & {{b}_{k,k}} & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & {{b}_{k+1,k+1}} \\ \end{matrix} \right]\]
Поскольку функция $\beta $ положительно определена, на диагонали матрицы $B$ стоят только положительные элементы:
\[{{b}_{i,i}}=\beta \left( {{f}_{i}},{{f}_{i}} \right) \gt 0,\quad 1\le i\le k+1\]
Следовательно определитель диагональной матрицы $B$ тоже положительный:
\[\det B={{b}_{1,1}}\cdot {{b}_{2,2}}\cdot \ldots \cdot {{b}_{k+1,k+1}} \gt 0\]
С другой стороны, мы знаем, что матрицы $A$ и $B$ связаны с матрицей перехода $T={{T}_{e\to f}}$ по формуле
\[B={{T}^{T}}\cdot A\cdot T\]
Следовательно, определители этих матриц тоже связаны:
\[\begin{align}\det B&=\det \left( {{T}^{T}}\cdot A\cdot T \right)= \\ &=\det \left( {{T}^{T}} \right)\cdot \det A\cdot \det T= \\ &={{\left( \det T \right)}^{2}}\cdot {{\Delta }_{k+1}} \end{align}\]
Здесь мы воспользовались свойствами определителей:
Выше мы доказали, что $\det B \gt 0$. Кроме того, $\det T\ne 0$, поскольку матрица перехода не вырождена. Следовательно, ${{\Delta }_{k+1}} \gt 0$, что и требовалось доказать.
2. Докажем достаточность. Здесь всё просто: пусть все угловые миноры ${{\Delta }_{1}},\ldots ,{{\Delta }_{n}}$ матрицы $A$ билинейной функции $\beta $ в некотором базисе $\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{n}} \right\}$ положительны. В частности, это означает, что миноры ${{\Delta }_{1}},\ldots ,{{\Delta }_{n}}$ отличны от нуля. Следовательно, по формуле Якоби в пространстве $V$ существует базис $\left\{ {{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{n}} \right\}$ такой, что квадратичная функция $q$, ассоциированная с билинейной функцией $\beta $, примет вид
\[q\left( x \right)=\frac{{{\Delta }_{1}}}{{{\Delta }_{0}}}x_{1}^{2}+\frac{{{\Delta }_{2}}}{{{\Delta }_{1}}}x_{2}^{2}+\ldots +\frac{{{\Delta }_{n}}}{{{\Delta }_{n-1}}}x_{n}^{2}\]
Заметим, что коэффициенты ${{{\Delta }_{i}}}/{{{\Delta }_{i-1}} \gt 0}\;$ для всех $1\le i\le n$. Следовательно, $q\left( x \right)$ представляет собой сумму $n$ неотрицательных слагаемых. Поскольку вектор $x\ne 0$, одно из этих слагаемых точно будет положительным, поэтому $q\left( x \right) \gt 0$, что и требовалось доказать.
Существует критерий Сильвестра и для отрицательно определённой билинейной функции.
Теорема. (Критерий Сильвестра). Симметрическая билинейная функция $\beta :V\times V\to \mathbb{R}$ является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров ${{\Delta }_{i}}$ её матрицы $A$ в произвольном базисе $\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{n}} \right\}$ чередуются, начиная с отрицательного:
\[{{\left( -1 \right)}^{k}}\cdot {{\Delta }_{k}} \gt 0,\quad 1\le k\le n\]
Доказательство — аналогично критерию Сильвестра для положительно определённых функций. С той лишь разницей, что в базисе $\left\{ {{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{n}} \right\}$ все элементы диагональной матрицы будут отрицательными. Откуда, собственно, и следует, что знаки угловых миноров чередуются, начиная с ${{\Delta }_{1}} \lt 0$.
Задача 1. Исследуйте квадратичную форму на знакоопределённость:
\[q\left( x \right)=x_{1}^{2}+12{{x}_{1}}{{x}_{2}}+37x_{2}^{2}\]
Решение. Матрица такой квадратичной формы:
\[A=\left[ \begin{matrix}1 & 6 \\ 6 & 37 \\ \end{matrix} \right]\]
Найдём угловые миноры:
\[\begin{align}{{\Delta }_{1}}&=1 \gt 0 \\ {{\Delta }_{2}}&=\det A=37-36=1 \gt 0 \\ \end{align}\]
Следовательно, по критерию Сильвестра это положительно определённая квадратичная форма.
Заметим, что в этом можно было убедиться и без всяких специальных критериев. Достаточно выделить в исходной квадратичной форме точный квадрат:
\[\begin{align}q\left( x \right)&=x_{1}^{2}+12{{x}_{1}}{{x}_{2}}+37x_{2}^{2}= \\ &=\left( x_{1}^{2}+12{{x}_{1}}{{x}_{2}}+36x_{2}^{2} \right)+x_{2}^{2}= \\ &={{\left( {{x}_{1}}+6{{x}_{2}} \right)}^{2}}+x_{2}^{2} \end{align}\]
Получилась сумма двух квадратов. Очевидно, что такое выражение будет положительным для любого ненулевого вектора.
Задача 2. Исследуйте квадратичную форму на знакоопределённость:
\[q\left( x \right)=9x_{1}^{2}+6x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+12{{x}_{1}}{{x}_{2}}-10{{x}_{1}}{{x}_{3}}-2{{x}_{2}}{{x}_{3}}\]
Решение. Матрица такой квадратичной формы выглядит так:
\[A=\left[ \begin{matrix} 9 & 6 & -5 \\ 6 & 6 & -1 \\ -5 & -1 & 6 \\ \end{matrix} \right]\]
Считаем угловые миноры:
\[\begin{align}{{\Delta }_{1}}&=9 \gt 0 \\ {{\Delta }_{2}}&=\left| \begin{matrix} 9 & 6 \\ 6 & 6 \\ \end{matrix} \right|=9\cdot 6-6\cdot 6=18 \gt 0 \\ {{\Delta }_{3}}&=\det A=\ldots =9 \gt 0 \\ \end{align}\]
Итак, все угловые миноры положительны. Следовательно, квадратичная форма $q\left( x \right)$ положительно определена.
Задача 3. Исследуйте квадратичную форму на знакоопределённость:
\[q\left( x \right)=x_{1}^{2}-16x_{2}^{2}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{3}}+10{{x}_{2}}{{x}_{3}}\]
Решение. Матрица этой квадратичной формы:
\[A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -16 & 5 \\ -2 & 5 & 0 \\ \end{matrix} \right]\]
Считаем угловые миноры:
\[\begin{align}{{\Delta }_{1}}&=1 \gt 0 \\ {{\Delta }_{2}}&=\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -16 \\ \end{matrix} \right|=-16-2=-18 \lt 0 \\ \end{align}\]
Считать третий угловой минор нет смысла, поскольку уже на первых двух минорах не выполнено ни одно из условий: квадратичная форма $q\left( x \right)$ не может быть ни положительно, ни отрицательно определённой.
Задача 4. Исследуйте квадратичную форму на знакоопределённость:
\[q\left( x \right)=-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\]
Матрица этой квадратичной формы (полагаем, что речь идёт о двумерном пространстве ${{\mathbb{R}}^{2}}$) равна
\[A=\left[ \begin{matrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \\ \end{matrix} \right]\]
Её угловой миноры ${{\Delta }_{1}}=0$, из-за чего дальше можно не считать, поскольку при таком угловом миноре нельзя установить знакоопределённость квадратичной формы по критерию Сильвестра.
