Сегодня мы научимся считать производную параметрической функции. Для этого разберём основную формулу, несколько примеров, но главное — одну из самых частых и глупых ошибок, которые допускают начинающие студенты.
План такой:
Начнём с ключевых определений и соображений.
Считая производные, мы привыкли работать с функциями, заданными аналитически, т.е. формулой $y=f\left( x \right)$. Подставляя в эту формулу разные значения $x$, мы легко находим значение $y$.
Несколько примеров таких функций:
Но что если величины $y$ и $x$ зависят не друг от друга, а от некой третьей переменной? Скажем, от параметра $t$?
Пример 1. Функция, заданная параметрически:
\[\left\{ \begin{align} & x=\cos t \\ & y=\sin t \\ \end{align} \right.\]
Перебирая разные $t\in \mathbb{R}$, мы будем получать точки с координатами $\left( x;y \right)$, которые в итоге превратятся в график:
Да это же тригонометрическая окружность! Она задаётся уравнением ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$.
График такого уравнения не является функцией (если забыли почему, гляньте урок про графики уравнений с двумя переменными). Но его можно «составить» из графиков двух функций:
\[\begin{align} & {{y}_{1}}=\sqrt{1-{{x}^{2}}} \\ & {{y}_{2}}=-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \\ \end{align}\]
А вот это уже привычные нам аналитические функции, и для них можно посчитать производную!
К сожалению, далеко не всегда параметрическое уравнение вида
\[\left\{ \begin{align} & x=\varphi \left( t \right) \\ & y=\psi \left( t \right) \\ \end{align} \right.\]
можно свести к привычными выражениям вида $y=f\left( x \right)$. Но это ни в коем случае не означает, что для таких параметрических функций нельзя посчитать производную. Можно и даже нужно. И поможет нам в этом следующая формула.
Итак, основная теорема.
Теорема 1. Пусть функция $y=f\left( x \right)$ задана параметрически:
\[\left\{ \begin{align} & x=\varphi \left( t \right) \\ & y=\psi \left( t \right) \\ \end{align} \right.\]
Тогда производная этой функции считается по формуле
\[{{{y}'}_{x}}\left( x \right)=\frac{{{{{y}'}}_{t}}\left( t \right)}{{{{{x}'}}_{t}}\left( t \right)}\]
Эту теорему очень легко доказать. В самом деле, если функция $x=\varphi \left( t \right)$ рассматривается на интервале $t\in \left( a;b \right)$ таком, что существует обратная функция $t={{\varphi }^{-1}}\left( x \right)$, то можно определить сложную функцию
\[y\left( x \right)=\psi \left( {{\varphi }^{-1}}\left( x \right) \right)\]
По теореме о производной сложной функции:
\[{{{y}'}_{x}}\left( x \right)={{{\psi }'}_{x}}\left( {{\varphi }^{-1}}\left( x \right) \right)={{{\psi }'}_{x}}\left( t \right)={{{\psi }'}_{t}}\left( t \right)\cdot {{{t}'}_{x}}\left( x \right)\]
\[\begin{align} {{{{y}'}}_{x}}\left( x \right) & ={{{{\psi }'}}_{x}}\left( {{\varphi }^{-1}}\left( x \right) \right)= \\ & ={{{{\psi }'}}_{x}}\left( t \right)= \\ & ={{{{\psi }'}}_{t}}\left( t \right)\cdot {{{{t}'}}_{x}}\left( x \right) \end{align}\]
Но по теореме об обратной функции ${{{t}'}_{x}}={1}/{{{{{x}'}}_{t}}}\;$, поэтому
\[{{{y}'}_{x}}\left( x \right)=\frac{{{{{\psi }'}}_{t}}\left( t \right)}{{{{{x}'}}_{t}}\left( t \right)}\]
Что и требовалось доказать.
Замечание. Когда выражение дифференцируется по разным переменным, целесообразно указывать в нижним индексе ту переменную, по которой выполняется дифференцирование: ${{{y}'}_{x}}$, ${{{y}'}_{t}}$, ${{{x}'}_{t}}$ и т.д.
Это поможет избежать недоразумений и глупых вычислительных ошибок. Кроме того, подобные обозначения активно используются в дифференциальном исчислении функций нескольких переменных.
Детальное руководство по работе с нижними индексами и переменными дифференцирования — см. урок «Производная сложной функции». Сейчас просто отметим, что мы привыкли считать производную по переменной $x$. Но с тем же успехом можно считать производную и по $t$, и по какому-нибудь $\varphi $, и вообще по любой переменной, которую мы увидим в функции.
Приведённые выше формулы могут показаться сложными и страшными. Но на деле это одна из самых лёгких тем в производных. Взгляните:
Пример 1. Найдите ${{{y}'}_{x}}$, если
\[\left\{ \begin{align} & x=2t \\ & y=3{{t}^{2}}-5t \\ \end{align} \right.\]
Считаем производные ${{{x}'}_{t}}$ и ${{{y}'}_{t}}$:
\[\begin{align} & {{{{x}'}}_{t}}={{\left( 2t \right)}^{\prime }}_{t}=2 \\ & {{{{y}'}}_{t}}={{\left( 3{{t}^{2}}-5t \right)}^{\prime }}_{t}=6t-5 \end{align}\]
Теперь считаем ${{{y}'}_{x}}$ по формуле производной параметрической функции:
\[{{{y}'}_{x}}=\frac{{{{{y}'}}_{t}}}{{{{{x}'}}_{t}}}=\frac{6t-5}{2}\]
Вот и всё! Готовое выражение можно разбить на две дроби, а можно оставить и так.
Пример 2. Найдите ${{{y}'}_{x}}$, если
\[\left\{ \begin{align} & x={{2}^{-t}} \\ & y={{2}^{2t}} \\ \end{align} \right.\]
Вместо многочленов видим показательные функции. Это ничего не меняет, снова считаем ${{{x}'}_{t}}$ и ${{{y}'}_{t}}$:
\[\begin{align} & {{{{x}'}}_{t}}={{\left( {{2}^{-t}} \right)}^{\prime }}_{t}={{2}^{-t}}\cdot \left( -\ln 2 \right) \\ & {{{{y}'}}_{t}}={{\left( {{2}^{2t}} \right)}^{\prime }}_{t}={{2}^{2t}}\cdot 2\ln 2 \end{align}\]
Теперь находим ${{{y}'}_{x}}$ по формуле:
\[{{{y}'}_{x}}=\frac{{{{{y}'}}_{t}}}{{{{{x}'}}_{t}}}=\frac{{{2}^{2t}}\cdot 2\ln 2}{{{2}^{-t}}\cdot \left( -\ln 2 \right)}=-{{2}^{3t+1}}\]
Для решения этого задания пришлось вспомнить производную показательной функции и некоторые свойства степеней.:)
Пример 3. Найдите ${{{y}'}_{x}}$, если
\[\left\{ \begin{align} & x=a\cos \varphi \\ & y=b\sin \varphi \\ \end{align} \right.\]
Здесь переменной-параметром является $\varphi $, а буквы $a$ и $b$ — просто числа, которые будут частью ответа. Считаем ${{{x}'}_{\varphi }}$ и ${{{y}'}_{\varphi }}$ — производные тригонометрических функций:
\[\begin{align} & {{{{x}'}}_{\varphi }}={{\left( a\cos \varphi \right)}^{\prime }}_{\varphi }=-a\sin \varphi\\ & {{{{y}'}}_{\varphi }}={{\left( b\sin \varphi \right)}^{\prime }}_{\varphi }=b\cos \varphi\end{align}\]
Находим ${{{y}'}_{x}}$:
\[{{{y}'}_{x}}=\frac{{{{{y}'}}_{\varphi }}}{{{{{x}'}}_{\varphi }}}=\frac{b\cos \varphi }{-a\sin \varphi }=-\frac{b}{a}\operatorname{ctg}\varphi \]
Понятно, что это были совсем простые задачи. Буквально через минуту мы рассмотрим примеры посерьёзнее, но сначала важное дополнение.
Часто нам требуется посчитать не производную функции вообще, а лишь в конкретной точке. Например, чтобы провести касательную или нормаль к кривой, заданной параметрически, в некой точке ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$, лежащей на этой кривой.
В этом случае задача ещё более упрощается.
Пример 4. Найдите ${{{y}'}_{x}}$ при $t={\pi }/{4}\;$, если
\[\begin{align} & x\left( t \right)=t\cdot \left( t\cos t-2\sin t \right) \\ & y\left( t \right)=t\cdot \left( t\sin t+2\cos t \right) \\ \end{align}\]
Задача явно серьёзнее, чем все предыдущие. Считаем ${{{x}'}_{t}}$ и ${{{y}'}_{t}}$:
\[\begin{align} & {{{{x}'}}_{t}}={{\left( t\cdot \left( t\cos t-2\sin t \right) \right)}^{\prime }}_{t}=-\left( {{t}^{2}}+2 \right)\cdot \sin t \\ & {{{{y}'}}_{t}}={{\left( t\cdot \left( t\sin t+2\cos t \right) \right)}^{\prime }}_{t}=\left( {{t}^{2}}+2 \right)\cdot \cos t \end{align}\]
\[\begin{align} {{{{x}'}}_{t}} & ={{\left( t\cdot \left( t\cos t-2\sin t \right) \right)}^{\prime }}_{t}= \\ & =-\left( {{t}^{2}}+2 \right)\cdot \sin t \\ {{{{y}'}}_{t}} & ={{\left( t\cdot \left( t\sin t+2\cos t \right) \right)}^{\prime }}_{t}= \\ & =\left( {{t}^{2}}+2 \right)\cdot \cos t\end{align}\]
И сразу подставляем $t={\pi }/{4}\;$:
\[\begin{align} & {{{{x}'}}_{t}}\left( \frac{\pi }{4} \right)=-\left( \frac{{{\pi }^{2}}}{16}+2 \right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ & {{{{y}'}}_{t}}\left( \frac{\pi }{4} \right)=\left( \frac{{{\pi }^{2}}}{16}+2 \right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \end{align}\]
Осталось найти ${{{y}'}_{x}}$:
\[{{{y}'}_{x}}=\frac{{{{{y}'}}_{t}}}{{{{{x}'}}_{t}}}=-\frac{32+{{\pi }^{2}}}{32+{{\pi }^{2}}}=-1\]
Разумеется, можно было сначала найти общую формулу для ${{{y}'}_{x}}$, а уже затем подставить в неё $t={\pi }/{4}\;$ — результат получится точно такой же.
А теперь, пожалуй, ключевой момент, связанный с дифференцированием параметрических функций. Ошибка, которую я сам допустил много лет назад.
Давайте ещё раз взглянем на функцию, заданную параметрически:
\[\left\{ \begin{align} & x=\varphi \left( t \right) \\ & y=\psi \left( t \right) \\ \end{align} \right.\]
И на производную этой функции:
\[{{{y}'}_{x}}\left( x \right)=\frac{{{{{y}'}}_{t}}\left( t \right)}{{{{{x}'}}_{t}}\left( t \right)}\]
А теперь представьте, что надо посчитать вторую производную: ${{{y}''}_{xx}}$. И тут у многих проскакивает мысль: а что если взять формулу для первой производной и просто увеличить в ней количество «штрихов»?
Получится что-то типа вот этого:
\[{{{y}''}_{xx}}\left( x \right)=\frac{{{{{y}''}}_{tt}}\left( t \right)}{{{{{x}''}}_{tt}}\left( t \right)}\]
Так вот: эта формула не верна!
Чтобы правильно найти вторую производную функции, заданной параметрически, достаточно вспомнить, что вторая производная — это просто производная от производной:
\[{{{y}''}_{xx}}={{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{x}\]
Проще говоря, сначала мы находим ${{{y}'}_{x}}$ — это будет какая-то функция от $t$. Затем уже от этой функции вновь считаем производную — всё по той же формуле, которую мы сегодня уже много раз использовали. Получится так:
\[{{{y}''}_{xx}}={{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}}{{{{{x}'}}_{t}}}\]
Тут нас ждёт две новости:
Чтобы разобраться с плохой новостью, достаточно просто небольшой практики. Поэтому сейчас мы разберём три примера. А точнее, три задачи из контрольных работ МГТУ им. Баумана. А там знают толк в производных.:)
Пример 5. Найдите ${{{y}''}_{xx}}$, если
\[\left\{ \begin{align} & x=\cos 2t \\ & y=\sin t \\ \end{align} \right.\]
1. Сначала находим первую производную. Для этого считаем ${{{x}'}_{t}}$ и ${{{y}'}_{t}}$:
\[\begin{align} & {{{{x}'}}_{t}}=-2\sin 2t=-4\sin t\cos t \\ & {{{{y}'}}_{t}}=\cos t \end{align}\]
Откуда находим саму производную ${{{y}'}_{x}}$:
\[{{{y}'}_{x}}=\frac{{{{{y}'}}_{t}}}{{{{{x}'}}_{t}}}=\frac{\cos t}{-4\sin t\cos t}=-\frac{1}{4\sin t}\]
2. Теперь находим вторую производную. Для этого считаем ${{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}$:
\[{{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}={{\left( -\frac{1}{4\sin t} \right)}^{\prime }}_{t}=\frac{\cos t}{4{{\sin }^{2}}t}\]
Кроме того, мы уже знаем ${{{x}'}_{t}}$. Поэтому находим вторую производную ${{{y}''}_{xx}}$:
\[{{{y}''}_{xx}}={{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}}{{{{{x}'}}_{t}}}=\frac{\cos t}{4{{\sin }^{2}}t}\cdot \frac{1}{-4\sin t\cos t}=-\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{{{\sin }^{3}}t}\]
\[\begin{align} {{{{y}''}}_{xx}} & ={{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}}{{{{{x}'}}_{t}}}= \\ & =\frac{\cos t}{4{{\sin }^{2}}t}\cdot \frac{1}{-4\sin t\cos t}= \\ & =-\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{{{\sin }^{3}}t} \end{align}\]
Вторая производная найдена.
Для сравнения посчитаем «производную» по неправильной формуле:
\[\frac{{{{{y}''}}_{tt}}}{{{{{x}''}}_{tt}}}=\frac{{{\left( {{{{y}'}}_{t}} \right)}^{\prime }}_{t}}{{{\left( {{{{x}'}}_{t}} \right)}^{\prime }}_{t}}=\frac{{{\left( \cos t \right)}^{\prime }}_{t}}{{{\left( -2\sin 2t \right)}^{\prime }}_{t}}=\frac{-\sin t}{-4\cos 2t}=\frac{1}{4}\cdot \frac{\sin t}{\cos 2t}\]
\[\begin{align} \frac{{{{{y}''}}_{tt}}}{{{{{x}''}}_{tt}}} & =\frac{{{\left( {{{{y}'}}_{t}} \right)}^{\prime }}_{t}}{{{\left( {{{{x}'}}_{t}} \right)}^{\prime }}_{t}}=\frac{{{\left( \cos t \right)}^{\prime }}_{t}}{{{\left( -2\sin 2t \right)}^{\prime }}_{t}}= \\ & =\frac{-\sin t}{-4\cos 2t}=\frac{1}{4}\cdot \frac{\sin t}{\cos 2t} \end{align}\]
Получили совершенно другое выражение, которое не является второй производной.
Итак, вторая производная считается из первой ровно по той же формуле, по какой первая производная считается из исходной функции.
Пример 6. Найдите ${{{y}''}_{xx}}$, если
\[\left\{ \begin{align} & x={{\text{e}}^{t}}+1 \\ & y=\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)\cdot {{\text{e}}^{t}} \\ \end{align} \right.\]
Первая производная ${{{y}'}_{x}}$ через ${{{x}'}_{t}}$ и ${{{y}'}_{t}}$:
\[\begin{align} & {{{{x}'}}_{t}}={{\text{e}}^{t}} \\ & {{{{y}'}}_{t}}={{t}^{2}}\cdot {{\text{e}}^{t}} \\ & {{{{y}'}}_{x}}=\frac{{{{{y}'}}_{t}}}{{{{{x}'}}_{t}}}=\frac{{{t}^{2}}\cdot {{\text{e}}^{t}}}{{{\text{e}}^{t}}}={{t}^{2}} \\ \end{align}\]
Вторая производная ${{{y}''}_{xx}}$ через ${{{x}'}_{t}}$ и ${{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}$:
\[\begin{align} & {{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}=2t \\ & {{{{y}''}}_{xx}}={{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}}{{{{{x}'}}_{t}}}=\frac{2t}{{{\text{e}}^{t}}} \\ \end{align}\]
Замечание. Когда освоитесь с основной формулой, выкладки можно сократить буквально до двух строк:
\[\begin{align} & {{{{y}'}}_{x}}=\frac{{{{{y}'}}_{t}}}{{{{{x}'}}_{t}}}=\frac{{{t}^{2}}\cdot {{\text{e}}^{t}}}{{{\text{e}}^{t}}}={{t}^{2}} \\ & {{{{y}''}}_{xx}}={{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}}{{{{{x}'}}_{t}}}=\frac{2t}{{{\text{e}}^{t}}} \\ \end{align}\]
Впрочем, не стоит увлекаться сокращением выкладок, если у вас есть хоть малейшее сомнение или недопонимание на любом этапе вычислений.
Пара дополнительных минут — сомнительная экономия по сравнению с парой баллов на контрольной. И уж тем более по сравнению с недопониманием материала.
Пример 7. Найдите ${{{y}''}_{xx}}$, если
\[\left\{ \begin{align} & x={1}/{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}\; \\ & y=2\operatorname{arctg}t \\ \end{align} \right.\]
Дифференцирование арктангенса дробно-рациональной функции — довольно громоздкие действия. Тут в пару строк не уложиться.
1. Считаем ${{{x}'}_{t}}$ и ${{{y}'}_{t}}$:
\[\begin{align} & {{{{x}'}}_{t}}={{\left( \frac{1}{1+{{t}^{2}}} \right)}^{\prime }}_{t}=\frac{-2t}{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}} \\ & {{{{y}'}}_{t}}={{\left( 2\operatorname{arctg}t \right)}^{\prime }}_{t}=\frac{2}{1+{{t}^{2}}} \\ \end{align}\]
Первая производная ${{{y}'}_{x}}$:
\[{{{y}'}_{x}}=\frac{{{{{y}'}}_{t}}}{{{{{x}'}}_{t}}}=\frac{2}{1+{{t}^{2}}}\cdot \frac{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}{-2t}=-\frac{1+{{t}^{2}}}{t}\]
2. Считаем ${{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}$:
\[{{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}=-\frac{2t\cdot t-\left( 1+{{t}^{2}} \right)}{{{t}^{2}}}=\frac{1-{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}}\]
Вторая производная ${{{y}''}_{xx}}$:
\[{{{y}''}_{xx}}={{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}}{{{{{x}'}}_{t}}}=\frac{1-{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}}\cdot \frac{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}{-2t}=\frac{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}\left( {{t}^{2}}-1 \right)}{2{{t}^{3}}}\]
\[\begin{align} {{{{y}''}}_{xx}} & ={{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}}{{{{{x}'}}_{t}}}= \\ & =\frac{1-{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}}\cdot \frac{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}{-2t}= \\ & =\frac{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}\left( {{t}^{2}}-1 \right)}{2{{t}^{3}}} \end{align}\]
Замечание. При делении дробных выражений полезно заменять их умножением на обратное:
\[\frac{A\left( x \right)}{B\left( x \right)}:\frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}=\frac{A\left( x \right)}{B\left( x \right)}\cdot \frac{Q\left( x \right)}{P\left( x \right)}\]
Именно так мы и поступили при вычислении ${{{y}'}_{x}}$ и ${{{y}''}_{xx}}$ в последнем примере. И не только в последнем.:)
Пример 8. Найдите производную третьего порядка ${{{y}'''}_{xxx}}$ для функции, заданной параметрически:
\[\left\{ \begin{align} & x\left( t \right)={{\text{e}}^{t}}\left( \cos t+\sin t \right) \\ & y\left( t \right)={{\text{e}}^{t}}\left( \cos t-\sin t \right) \\ \end{align} \right.\]
Решение будет состоять из трёх шагов.
1. Найдём первую производную ${{{y}'}_{x}}$. Для этого считаем ${{{x}'}_{t}}$ и ${{{y}'}_{t}}$:
\[\begin{align} {{{{x}'}}_{t}} & =2\cos t\cdot {{\text{e}}^{t}} \\ {{{{y}'}}_{t}} & =-2\sin t\cdot {{\text{e}}^{t}} \\ \end{align}\]
Первая производная ${{{y}'}_{t}}$ равна
\[{{{y}'}_{x}}=\frac{{{{{y}'}}_{t}}}{{{{{x}'}}_{t}}}=\frac{-2\sin t\cdot {{\text{e}}^{t}}}{2\cos t\cdot {{\text{e}}^{t}}}=-\operatorname{tg}t\]
2. Считаем вторую производную. При этом ${{{x}'}_{t}}$ уже посчитано, осталось найти ${{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}$:
\[{{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}={{\left( -\operatorname{tg}t \right)}^{\prime }}_{t}=-\frac{1}{{{\cos }^{2}}t}\]
Находим вторую производную по всё той же формуле:
\[{{{y}''}_{xx}}={{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}}{{{{{x}'}}_{t}}}=-\frac{1}{{{\cos }^{2}}t}\cdot \frac{1}{2\cos t\cdot {{\text{e}}^{t}}}=-\frac{1}{2{{\text{e}}^{t}}{{\cos }^{3}}t}\]
\[\begin{align} {{{{y}''}}_{xx}} & ={{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{\left( {{{{y}'}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{t}}{{{{{x}'}}_{t}}}= \\ & =-\frac{1}{{{\cos }^{2}}t}\cdot \frac{1}{2\cos t\cdot {{\text{e}}^{t}}}= \\ & =-\frac{1}{2{{\text{e}}^{t}}{{\cos }^{3}}t} \end{align}\]
3. Считаем третью производную. Вновь нужно лишь найти ${{\left( {{{{y}''}}_{xx}} \right)}^{\prime }}_{t}$:
\[{{\left( {{{{y}''}}_{xx}} \right)}^{\prime }}_{t}={{\left( -\frac{1}{2{{\text{e}}^{t}}{{\cos }^{3}}t} \right)}^{\prime }}_{t}=\frac{\cos t-3\sin t}{2{{\text{e}}^{t}}{{\cos }^{4}}t}\]
\[\begin{align} {{\left( {{{{y}''}}_{xx}} \right)}^{\prime }}_{t} & ={{\left( -\frac{1}{2{{\text{e}}^{t}}{{\cos }^{3}}t} \right)}^{\prime }}_{t}= \\ & =\frac{\cos t-3\sin t}{2{{\text{e}}^{t}}{{\cos }^{4}}t} \end{align}\]
Для сокращения вычислений я сразу записал готовую формулу ${{\left( {{{{y}''}}_{xx}} \right)}^{\prime }}_{t}$ — проверьте её самостоятельно. А дальше вновь используем формулу производной для параметрической функции:
\[{{{y}'''}_{xxx}}=\frac{{{\left( {{{{y}''}}_{xx}} \right)}^{\prime }}_{t}}{{{{{x}'}}_{t}}}=\frac{\cos t-3\sin t}{4{{\text{e}}^{2t}}\cdot {{\cos }^{5}}t}\]
Задача решена. Хотя вычислений получилось довольно много.
В любом случае помните главную формулу:
\[{{{y}'}_{x}}\left( x \right)=\frac{{{{{\psi }'}}_{t}}\left( t \right)}{{{{{x}'}}_{t}}\left( t \right)}\]
И помните, что вторая производная не равна частному вторых производных:
\[{{{y}''}_{xx}}\left( x \right)\ne \frac{{{{{\psi }''}}_{tt}}\left( t \right)}{{{{{x}''}}_{tt}}\left( t \right)}\]
Попытка использовать эту формулу для нахождения производных высших порядков будет считаться грубой ошибкой.
Вот и вся теория. Теперь — за практику!:)
