Теорема Вейерштрасса — фундаментальная теорема матанализа, которая состоит из двух частей:
Сейчас мы сформулируем и докажем обе эти теоремы. Прежде всего дадим определения, на которые будем опираться:
Определение 1. Функция $f\left( x \right)$ непрерывна в точке $x=a$, если $\lim\limits_{x\to a}f\left( x \right)=f\left( a \right)$.
Определение 2. Функция $f\left( x \right)$ непрерывна на интервале $\left[ a;b \right]$, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка. При этом на концах отрезка речь идёт об односторонней непрерывности.
Всё это подробно разобрано в уроке про непрерывность функции в точке. Перейдём к теоремам.
Теорема 1. (об ограниченности непрерывной функции) Функция, непрерывная на отрезке $\left[ a;b \right]$, ограничена на этом отрезке.
Другими словами, найдётся $M\in \mathbb{R}$ такое, что
\[\forall \left( x\in \left[ a;b \right] \right)\quad \left| f\left( x \right) \right| \lt M\]
Приведу два доказательства — выбирайте то, которое больше нравится именно вам (или вашему преподу).
Предположим противное: пусть $f\left( x \right)$ не ограничена на $\left[ a;b \right]$. Обозначим середину этого отрезка ${{c}_{1}}={\left( a+b \right)}/{2}\;$ и рассмотрим два новых отрезка:
\[\left[ a;{{c}_{1}} \right]\quad \left[ {{c}_{1}};b \right]\]
Вместе эти отрезки покрывают отрезок $\left[ a;b \right]$. Следовательно, функция $f\left( x \right)$ не ограничена как минимум на одном из них. Иначе если $f\left( x \right)$ ограничена на обоих отрезках, то она будет ограничена и на из объединении, что противоречит нашему предположению.
Обозначим тот отрезок, на котором $f\left( x \right)$ не ограничена, как ${{I}_{1}}=\left[ {{a}_{1}};{{b}_{1}} \right]$. Найдём середину этого отрезка ${{c}_{2}}={\left( {{a}_{1}}+{{b}_{1}} \right)}/{2}\;$. Вновь рассмотрим пару отрезков $\left[ {{a}_{1}};{{c}_{1}} \right]$ и $\left[ {{c}_{1}};{{b}_{1}} \right]$. Как минимум на одном из них функция $f\left( x \right)$ будет не ограничена. Обозначим этот отрезок как ${{I}_{2}}=\left[ {{a}_{2}};{{b}_{2}} \right]$.
Проделаем эту операцию много раз. Получим последовательность стягивающихся отрезков:
\[{{I}_{1}}\supset {{I}_{2}}\supset \ldots \supset {{I}_{n}}\supset \ldots \]
Длина отрезка ${{I}_{n}}$ равна $\left| {{I}_{n}} \right|=\left| b-a \right|\cdot {{2}^{-n}}$ и стремится к нулю при $n\to +\infty $. По лемме о стягивающихся отрезках существует точка ${{x}_{0}}\in \mathbb{R}$ такая, что ${{x}_{0}}\in {{I}_{n}}$ для любого $n\in \mathbb{N}$.
Кроме того, ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$, поэтому функция $f\left( x \right)$ непрерывна в т.ч. и в точке $x={{x}_{0}}$:
\[\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}}f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)\]
Вспомним определение предела функции в точке:
\[\begin{align} & \lim\limits_{x\to {{x}_{0}}} f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)\Rightarrow\\ & \forall \left( \varepsilon \gt 0 \right)\quad \exists \left( \delta =\delta \left( \varepsilon \right) \gt 0 \right): \\ & x\in {{\overset{\circ }{\mathop{U}}\,}_{\delta }}\left( {{x}_{0}} \right)\Rightarrow \left| f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right) \right| \lt \varepsilon\\ \end{align}\]
Возьмём $\varepsilon =1$. Следовательно, найдётся $\delta =\delta \left( 1 \right) \gt 0$ такое, что в проколотой $\delta $-окрестности точки ${{x}_{0}}$ выполняется условие $\left| f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right) \right| \lt 1$. Но тогда
\[\begin{align} \left| f\left( x \right) \right|&=\left| f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right) \right|\le\\ & \le \left| f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right) \right|+\left| f\left( {{x}_{0}} \right) \right| \lt \\ & \lt 1+\left| f\left( {{x}_{0}} \right) \right| \\ \end{align}\]
Получается, что внутри $\delta $-окрестности функция ограничена числом $M=1+\left| f\left( {{x}_{0}} \right) \right|$. Но поскольку $\delta \gt 0$ — фиксированное положительное число, а длины отрезков $\left| {{I}_{n}} \right|=\left| b-a \right|\cdot {{2}^{-n}}$ стремятся к нулю, начиная с какого-то момента эти отрезки будут полностью лежать внутри этой $\delta $-окрестности:
Мы даже можем приблизительно вычислить этот момент — достаточно потребовать, чтобы величина $\delta $ оказалась больше длины $\left| {{I}_{n}} \right|$:
\[\begin{align} \delta& \gt \left| b-a \right|\cdot {{2}^{-n}} \\ {{2}^{n}} & \gt {\left| b-a \right|}/{\delta }\; \\ n& \ge \left[ {{\log }_{2}}{\left| b-a \right|}/{\delta }\; \right]+1 \\ \end{align}\]
Здесь $\left[ l \right]$ следует понимать как «целая часть числа $l$» (подробнее об этом — в уроке «Что такое предел последовательности»).
Но тогда для всякого такого отрезка, полностью лежащего в $\delta $-окрестности точки ${{x}_{0}}$, одновременно выполняется два условия:
Получили противоречие. Следовательно, исходное предположение не верно. Теорема доказана.
Рассмотрим более хитрое доказательство, которое опирается на теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности.
Итак, нужно доказать, что функция, непрерывная на отрезке $\left[ a;b \right]$, будет ограничена на этом отрезке. Вновь предположим, что это не так: пусть функция $f\left( x \right)$ не ограничена, т.е.
\[\begin{align} & \forall \left( c\in \mathbb{R} \right)\quad \exists \left( x\in \left[ a;b \right] \right): \\ & \left| f\left( x \right) \right| \gt c \\ \end{align}\]
Рассмотрим натуральные значения $c$.
Пусть $c=1$. Тогда найдётся ${{x}_{1}}\in \left[ a;b \right]$ такое, что $\left| f\left( {{x}_{1}} \right) \right| \gt 1$.
Пусть $c=2$. Тогда найдётся ${{x}_{2}}\in \left[ a;b \right]$ такое, что $\left| f\left( {{x}_{2}} \right) \right| \gt 2$.
Продолжаем так много раз. Пусть $c=n$. Тогда найдётся ${{x}_{n}}\in \left[ a;b \right]$ такое, что $\left| f\left( {{x}_{n}} \right) \right| \gt n$.
Получили последовательность $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$, которая бесконечна и ограничена: $a\le {{x}_{n}}\le b$. По теореме Больцано-Вейерштрасса из неё можно выбрать сходящуюся подпоследовательность $\left\{ {{x}_{{{n}_{k}}}} \right\}$:
\[\lim\limits_{k\to +\infty } {{x}_{{{n}_{k}}}}=\xi \]
Но поскольку члены последовательности $a\le {{x}_{{{n}_{k}}}}\le b$, её предел $\xi \in \left[ a;b \right]$ (почему это так — смотрите свойства предела последовательности), и функция $f\left( x \right)$, непрерывная на $\left[ a;b \right]$, будет непрерывна и в точке $x=\xi $.
Согласно определению непрерывности функции по Гейне имеем
\[\lim\limits_{k\to +\infty } f\left( {{x}_{{{n}_{k}}}} \right)=f\left( \xi \right)\]
С другой стороны, последовательность \[\left\{ {{x}_{{{n}_{k}}}} \right\}\] сконструирована таким образом, что
\[\left| f\left( {{x}_{{{n}_{k}}}} \right) \right| \gt {{n}_{k}}\ge k\]
Но тогда предел
\[\lim\limits_{k\to +\infty } f\left( {{x}_{{{n}_{k}}}} \right)=\infty \]
Получаем, что один и тот же предел одновременно равен и $f\left( \xi \right)\in \mathbb{R}$, и $\infty \notin \mathbb{R}$. Чего не может быть, поскольку если предел существует, то он единственный.
Вновь получили противоречие. Следовательно, исходное предположение не верно. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции доказана.
Эту теорему можно обобщить, рассмотрев вместо отрезка произвольный компакт.
С другой стороны, если вместо отрезка рассмотреть интервал (или любое другое открытое множество), то теорема будет не верна!
Пример 1. Функция $y= \operatorname{tg}x$, где $x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$.
Тангенс непрерывен в каждой точке указанного интервала, однако неограниченно возрастает при $x\to {\pi }/{2}\;$ и неограниченно убывает при $x\to -{\pi }/{2}\;$.
Принципиально важно, чтобы функция была определена на концах отрезка $\left[ a;b \right]$, т.е. принимала бы конкретные значения $f\left( a \right)$ и $f\left( b \right)$. И следовательно, была бы ограниченна в некоторой $\delta $-окрестности этих концов.
В матанализе есть понятие локального максимума и минимума (смотрите раздел про производные), поэтому при формулировке теоремы Вейерштрасса лучше говорить о точной верхней грани и точной нижней грани значений функции на отрезке:
\[\sup\limits_{x\in \left[ a;b \right]}f\left( x \right)\quad \inf\limits_{x\in \left[ a;b \right]}f\left( x \right)\]
Теорема 2. (о достижении точной верхней и нижней грани) Функция, непрерывная на отрезке $\left[ a;b \right]$, достигает своей точной верхней грани и точной нижней грани:
\[\begin{align} & \exists \left( {{x}_{1}}\in \left[ a;b \right] \right): & f\left( {{x}_{1}} \right)=\underset{x\in \left[ a;b \right]}{\mathop{\sup }}\,f\left( x \right) \\ & \exists \left( {{x}_{2}}\in \left[ a;b \right] \right): & f\left( {{x}_{2}} \right)=\underset{x\in \left[ a;b \right]}{\mathop{\inf }}\,f\left( x \right) \\ \end{align}\]
Докажем эту теорему только для точной верхней грани. Затем достаточно рассмотреть функцию $g\left( x \right)=-f\left( x \right)$ и заметить, что
\[\inf\limits_{x\in \left[ a;b \right]} f\left( x \right)=-\sup\limits_{x\in \left[ a;b \right]} g\left( x \right)\]
Пусть функция $f\left( x \right)$ непрерывна на $\left[ a;b \right]$. Тогда по теореме Вейерштрасса об ограниченности, которую мы доказали выше, найдётся такое $M\in \mathbb{R}$, что
\[\forall \left( x\in \left[ a;b \right] \right)\quad \left| f\left( x \right) \right| \lt M\]
Но тогда существует точная верхняя грань
\[A=\sup\limits_{x\in \left[ a;b \right]} f\left( x \right)\]
Докажем теорему от противного. Пусть $A\ne f\left( x \right)$ для любого $x\in \left[ a;b \right]$. Тогда очевидно, что $A \gt f\left( x \right)$ при каждом $x\in \left[ a;b \right]$.
Рассмотрим функцию $g\left( x \right)=A-f\left( x \right)$. Она непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right]$. Кроме того для всякого $x\in \left[ a;b \right]$
\[g\left( x \right)=A-f\left( x \right) \gt 0\]
Следовательно, функция
\[{{g}_{1}}\left( x \right)=\frac{1}{g\left( x \right)}=\frac{1}{A-f\left( x \right)} \gt 0\]
тоже непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right]$ и принимает лишь положительные значения. Но тогда ${{g}_{1}}\left( x \right)$ ограничена на $\left[ a;b \right]$. Следовательно, найдётся число $B \gt 0$ такое, что
\[\begin{align} \left| {{g}_{1}}\left( x \right) \right| & \lt B \\ 0 \lt \frac{1}{A-f\left( x \right)}& \lt B \\ \end{align}\]
Но тогда
\[\begin{align} A-f\left( x \right) & \gt \frac{1}{B} \gt 0 \\ f\left( x \right) & \lt A-\frac{1}{B} \\ \end{align}\]
Получается, что мы нашли верхнюю грань $A-{1}/{B}\;$, которая меньше точной верхней грани $A=\sup\limits_{x\in \left[ a;b \right]} f\left( x \right)$.
Но это противоречит определению точной меньшей грани. Следовательно, исходное предположение неверно. Теорема доказана.
