Монотонные функции — это не просто «чем больше $x$, тем больше $y$». Это целый класс функций с особенными свойствами. Одно из таких свойств мы сегодня рассмотрим.
План урока:
Но прежде чем мы начнём, приведу два определения, которые лежат в основе всех дальнейших рассуждений. А именно: что такое монотонная функция.
Определение 1. Функция $f\left( x \right)$ называется не убывающей (или, соответственно, не возрастающей) на множестве $M$, если для любых ${{x}_{1}}\in M$ и ${{x}_{2}}\in M$ верно: если ${{x}_{1}} \lt {{x}_{2}}$, то $f\left( {{x}_{1}} \right)\le f\left( {{x}_{2}} \right)$ (или, соответственно, $f\left( {{x}_{1}} \right)\ge f\left( {{x}_{2}} \right)$).
Не убывающие и не возрастающие функции называют монотонными. Ключевая идея: с ростом $x$ значения $f\left( x \right)$ либо не меняются, либо становятся всё больше (если функция не убывает) или всё меньше (если функция не возрастает).
Среди монотонных функций есть особый подкласс — строго монотонные.
Определение 2. Функция $f\left( x \right)$ называется строго возрастающей (соответственно, строго убывающей) на множестве $M$ если для любых ${{x}_{1}}\in M$ и ${{x}_{2}}\in M$ имеем: если ${{x}_{1}} \lt {{x}_{2}}$, то $f\left( {{x}_{1}} \right) \lt f\left( {{x}_{2}} \right)$ (соответственно, $f\left( {{x}_{1}} \right) \gt f\left( {{x}_{2}} \right)$).
Тут уже никаких констант. Чем больше $x$, тем больше $f\left( x \right)$, если функция строго возрастает (или тем меньше $f\left( x \right)$, если убывает).
Вот теперь переходим к основной теореме.
Теорема. (о точках разрыва) Пусть функция $f\left( x \right)$ монотонна на отрезке $\left[ a;b \right]$. Тогда она может иметь на этом отрезке разрывы только первого рода.
Более того, если $f\left( x \right)$ не убывает, то для всех ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$ имеем
\[\begin{align}\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right) & =\inf\limits_{x \gt {{x}_{0}}}f\left( x \right)={{m}_{1}} \\ \lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right) & =\sup\limits_{x \lt {{x}_{0}}}f\left( x \right)={{m}_{2}} \\ {{m}_{2}} & \le f\left( {{x}_{0}} \right)\le {{m}_{1}} \end{align}\]
А если $f\left( x \right)$ не возрастает, то для всех ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$ имеем
\[\begin{align}\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)&=\sup\limits_{x \gt {{x}_{0}}}f\left( x \right)={{m}_{1}} \\ \lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right)&=\inf\limits_{x \lt {{x}_{0}}}f\left( x \right)={{m}_{2}} \\ {{m}_{1}}&\le f\left( {{x}_{0}} \right)\le {{m}_{2}} \end{align}\]
Прежде чем переходить к доказательству, рассмотрим геометрическую интерпретацию этой теоремы.
Сначала простейший случай: пусть функция $f\left( x \right)$ строго возрастает на отрезке $\left[ a;b \right]$. В этом случае если и будут точки разрыва, то все они будут первого рода:
По рисунку видно, что односторонние пределы $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)={{m}_{1}}$ и $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right)={{m}_{2}}$ существуют, но не равны. А значение функции вообще где-то между ними. Это и есть разрыв первого рода.
А вот такого разрыва точно не будет:
Другими словами, прямая $x={{x}_{0}}$ не будет вертикальной асимптотой. Иначе нарушается монотонность: по мере приближения $x\to {{x}_{0}}+$ график явно уходит ниже $f\left( {{x}_{0}} \right)$ и даже ниже границы ${{m}_{2}}$, что является нарушением условия теоремы.
А вот случай нестрого монотонной функции: она всюду постоянна, а в точке разрыва $x={{x}_{0}}$ происходит скачкообразный рост.
И вновь это разрыв первого рода: односторонние пределы $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)={{m}_{1}}$ и $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right)={{m}_{2}}$ существуют, но не равны друг другу. И не равны значению $f\left( {{x}_{0}} \right)$.
К сожалению, при всей наглядности графических иллюстраций их нельзя рассматривать как полноценное доказательство. Но эти графики дают нам подсказку: что искать.
А искать нам нужно значения ${{m}_{1}}$ и ${{m}_{2}}$. Они должны быть точно определены для всякого ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$. На этом и построим первый шаг доказательства.
Положим для определённости, что функция $f\left( x \right)$ не убывает на отрезке $\left[ a;b \right]$. Случай не возрастающей $f\left( x \right)$ доказывается аналогично.
1. Докажем, что
\[\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)=\inf\limits_{x \gt {{x}_{0}}}f\left( x \right)={{m}_{1}}\]
Совершенно аналогичным способом доказывается, что
\[\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right)=\sup\limits_{x \lt {{x}_{0}}}f\left( x \right)={{m}_{2}}\]
2. Чтобы посчитать предел (пускай лишь правосторонний), зафиксируем некоторое $\varepsilon \gt 0$. По условию, ${{m}_{1}}=\inf\limits_{x \gt {{x}_{0}}}f\left( x \right)$ — точная нижняя грань множества значений функции $f\left( x \right)$ для $x \gt {{x}_{0}}$. Это означает, что:
Оба пункта хорошо видны на примере строго монотонной функции:
Поскольку ${{m}_{1}}=\inf\limits_{x \gt {{x}_{0}}}f\left( x \right)$ и $f\left( x \right)$ не убывает, то для всякого $x \gt {{x}_{0}}$ выполняется условие $f\left( x \right)\ge {{m}_{1}}$. Но стоит шагнуть от ${{m}_{1}}$ вверх на произвольный отступ $\varepsilon \gt 0$ — и тут же найдётся ${{x}_{1}} \gt {{x}_{0}}$ такое, что $f\left( {{x}_{1}} \right) \lt {{m}_{1}}+\varepsilon $.
3. Поскольку $f\left( x \right)$ — неубывающая функция, имеем
\[\begin{align} {{x}_{0}}& \lt x \lt {{x}_{1}}\Rightarrow \\ {{m}_{1}}&\le f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{1}} \right) \lt {{m}_{1}}+\varepsilon \end{align}\]
Возьмём $\delta ={{x}_{1}}-{{x}_{0}} \gt 0$ и рассмотрим правую проколотую $\delta $-окрестность точки ${{x}_{0}}$:
\[\begin{align} {{x}_{0}} \lt &x \lt {{x}_{0}}+\delta \Rightarrow \\ {{m}_{1}}\le & f\left( x \right) \lt {{m}_{1}}+\varepsilon \\ 0\le & f\left( x \right)-{{m}_{1}} \lt \varepsilon\\ & \left| f\left( x \right)-{{m}_{1}} \right| \lt \varepsilon\\ \end{align}\]
Итак, для указанного $\varepsilon \gt 0$ мы предъявили $\delta =\delta \left( \varepsilon \right) \gt 0$ такое, что
\[x\in \left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+\delta \right)\Rightarrow \left| f\left( x \right)-{{m}_{1}} \right| \lt \varepsilon \]
А это и означает, что правосторонний предел равен
\[\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)={{m}_{1}}=\inf\limits_{x \gt {{x}_{0}}}f\left( x \right)\]
4. Кроме того, поскольку функция не убывает, из условия $x \gt {{x}_{0}}$ следует $f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right)$. Следовательно, $f\left( {{x}_{0}} \right)$ — одна из нижних граней для множества значений $f\left( x \right)$ при $x \gt {{x}_{0}}$, поэтому $f\left( {{x}_{0}} \right)$ не превосходит точную нижнюю грань:
\[f\left( {{x}_{0}} \right)\le {{m}_{1}}\]
5. Аналогично доказываем, что $f\left( {{x}_{0}} \right)\ge {{m}_{2}}$, откуда окончательно заключаем
\[{{m}_{2}}\le f\left( {{x}_{0}} \right)\le {{m}_{1}}\]
что и требовалось доказать.
Определение 3. Функция $f\left( x \right)$ называется непрерывной в точке ${{x}_{0}}$, если выполнены три условия:
- $f\left( x \right)$ определена в ${{x}_{0}}$, т.е. существует $f\left( {{x}_{0}} \right)$.
- Предел $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}}f\left( x \right)$ существует и равен конечному числу: $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}}f\left( x \right)=A$.
- Этот предел равен значению функции: $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}}f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)$.
Как правило, наибольший интерес представляет второй пункт — существование предела. Поэтому рассмотрим условие, при котором такой предел непременно существует. Оформим его в виде леммы:
Лемма. (критерий существования предела) Предел функции в точке $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}}f\left( x \right)$ существует и равен конечному числу $A$ тогда и только тогда, когда выполнены три условия:
- Существует конечный правый предел $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)$.
- Существует конечный левый предел $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right)$.
- Эти односторонние пределы равны: $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right)=A$.
Разумеется, есть и другие способы проверить существование предела. Например, можно предъявлять $\delta \gt 0$ по заданному $\varepsilon \gt 0$. Подробности см. в уроке «Предел функции в точке», а сейчас сформулируем более общее определение.
Определение 4. Функция $f\left( x \right)$ называется непрерывной на множестве $M$, если эта функция непрерывна в каждой точке $x\in M$.
Теперь разберём ситуацию, когда функция непрерывна на множестве $M$ (обычно это отрезок или интервал), за исключением точки ${{x}_{0}}\in M$, в которой условия непрерывности не выполняются.
Так возникают точки разрыва.
Определение 5. Функция терпит разрыв в точке $x={{x}_{0}}$, если выполнено хотя бы одно условие:
- $f\left( x \right)$ не определена в ${{x}_{0}}$.
- Предел $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}}f\left( x \right)$ не существует.
- Предел $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}}f\left( x \right)$ существует и конечен, функция $f\left( x \right)$ определена в ${{x}_{0}}$, но при этом $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}}f\left( x \right)\ne f\left( {{x}_{0}} \right)$.
Особого внимания вновь заслуживает второй пункт: предел $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}}f\left( x \right)$ не существует, т.е. не выполняется критерий существования предела. Возможны два варианта:
Соответственно существуют два разных рода разрывов:
Определение 6. Точка ${{x}_{0}}$ называется точкой разрыва первого рода, если пределы $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)$ и $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)$ существуют и конечны, но $f\left( {{x}_{0}} \right)$ не определена, либо не равна одному из этих пределов.
Определение 7. Разрыв первого рода в точке ${{x}_{0}}$ называется устранимым, если существуют равные конечные пределы
\[\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right)=A\]
Определение 8. Точка ${{x}_{0}}$ называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из пределов $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)$ и $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)$ не существует, либо «уходит в бесконечность».
К примеру, функция $y={\left| x \right|}/{x}\;$ терпит разрыв первого рода в точке ${{x}_{0}}=0$. Правый и левый пределы в этой точке существуют, но не равны:
Привычная гипербола $y={1}/{x}\;$ терпит разрыв второго рода в точке ${{x}_{0}}=0$. Правый предел уходит в плюс бесконечность, левый — в минус бесконечность:
Более экзотическая функция, которая терпит разрыв второго рода в точке ${{x}_{0}}=0$, но при этом пределы не «улетают в бесконечность»:
Так вот: теорема о точках разрыва монотонной функции утверждает, что если функция определена на всём отрезке $\left[ a;b \right]$ и монотонна на нём, то она может иметь на этом отрезке только разрывы первого рода.
