Теорема о пределе промежуточной (зажатой) функции. У неё несколько формулировок и доказательств. Я приведу их все, а вы выбирайте тот вариант, который дают в вашем университете.
Теорема о пределе промежуточной функции. Пусть в некоторой проколотой окрестности $\overset{\circ }{\mathop{U}}\,\left( {{x}_{0}} \right)$ точки ${{x}_{0}}$ выполняется неравенство: $\varphi \left( x \right)\le f\left( x \right)\le \psi \left( x \right)$.
Пусть также существуют конечные пределы $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}} \varphi \left( x \right)$ и $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}} \psi \left( x \right)$, причём эти пределы равны: $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}} \varphi \left( x \right)=\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}} \psi \left( x \right)=A$.
Тогда существует предел функции $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}} f\left( x \right)$, причём: $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}}f\left( x \right)=A$.
Эту теорему ещё называют «правилом двух милиционеров» для функций. И суть теоремы предельно проста: если в окрестностях некоторой точки ${{x}_{0}}$ функция $f\left( x \right)$ «зажата» между двумя другими функциями $\varphi \left( x \right)$ и $\psi \left( x \right)$, причём пределы этих функций при $x\to {{x}_{0}}$ существуют и равны числу $A$, то у функции $f\left( x \right)$ тоже будет предел при $x\to {{x}_{0}}$, и он тоже будет равен $A$.
Доказательство рассмотрим для определения предела функции по Коши.
1. Нам нужно доказать, что $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}}f\left( x \right)$ существует и что $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}}f\left( x \right)=A$. Для этого зафиксируем некоторое $\varepsilon \gt 0$ и найдём такое $\delta \gt 0$, чтобы выполнялось определение предела:
\[\begin{align} x\in & \left( {{x}_{0}}-\delta ;{{x}_{0}} \right)\bigcup \left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+\delta \right)\Rightarrow \\ & \Rightarrow \left| f\left( x \right)-A \right| \lt \varepsilon \\ \end{align}\]
2. Рассмотрим функцию $\varphi \left( x \right)$. По условию, $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}} \varphi \left( x \right)=A$. Следовательно, для указанного выше $\varepsilon \gt 0$ найдётся такое ${{\delta }_{1}} \gt 0$, что:
\[\begin{align} x\in & \left( {{x}_{0}}-{{\delta }_{1}};{{x}_{0}} \right)\bigcup \left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+{{\delta }_{1}} \right)\Rightarrow \\ & \Rightarrow \left| \varphi \left( x \right)-A \right| \lt \varepsilon \\ \end{align}\]
3. С функцией $\psi \left( x \right)$ всё то же самое: по условию, $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}} \psi \left( x \right)=A$, следовательно, для нашего $\varepsilon \gt 0$ найдётся такое ${{\delta }_{2}} \gt 0$, что:
\[\begin{align} x\in & \left( {{x}_{0}}-{{\delta }_{2}};{{x}_{0}} \right)\bigcup \left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+{{\delta }_{2}} \right)\Rightarrow \\ & \Rightarrow \left| \psi \left( x \right)-A \right| \lt \varepsilon \\ \end{align}\]
4. Итак, у нас есть два отступа: ${{\delta }_{1}}$ и ${{\delta }_{2}}$. Выберем наименьший из них и обозначим за $\delta $:
\[\delta =\min \left( {{\delta }_{1}};{{\delta }_{2}} \right)\]
Следовательно, для такого $\delta $ будут выполнены оба неравенства:
\[\begin{align} x\in & \left( {{x}_{0}}-\delta ;{{x}_{0}} \right)\bigcup \left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+\delta \right)\Rightarrow \\ \Rightarrow& \left| \varphi \left( x \right)-A \right| \lt \varepsilon\\ & \left| \psi \left( x \right)-A \right| \lt \varepsilon\\ \end{align}\]
Однако эти неравенства можно переписать иначе:
\[\begin{align} & A-\varepsilon \lt \varphi \left( x \right) \lt A+\varepsilon \\ & A-\varepsilon \lt \psi \left( x \right) \lt A+\varepsilon \\ \end{align}\]
5. Вспоминаем про функцию $f\left( x \right)$:
\[A-\varepsilon \lt \varphi \left( x \right)\le f\left( x \right) \lt \psi \left( x \right) \lt A+\varepsilon \]
Следовательно, для функции $f\left( x \right)$ тоже верно неравенство:
\[A-\varepsilon \lt f\left( x \right) \lt A+\varepsilon \]
Или, что то же самое: $\left| f\left( x \right)-A \right| \lt \varepsilon $.
6. Итак, мы доказали, что для всякого $\varepsilon \gt 0$ найдётся $\delta \gt 0$ такое, что в проколотой $\delta $-окрестности точки ${{x}_{0}}$ выполняется неравенство $\left| f\left( x \right)-A \right| \lt \varepsilon $. А это и означает, что предел $\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}} f\left( x \right)$ существует и равен числу $A$:
\[\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}} f\left( x \right)=A\]
Теорема доказана.
Небольшое замечание. В разных учебниках проколотая $\delta $-окрестность точки ${{x}_{0}}$ обозначается по-разному: и как $x\in {{\overset{\circ }{\mathop{U}}\,}_{\delta }}\left( {{x}_{0}} \right)$, и как \[x\in \overset{\circ }{\mathop{U}}\,\left( {{x}_{0}},\delta \right)\]. В любо случае, смысл один и тот же:
\[x\in \left( {{x}_{0}}-\delta ;{{x}_{0}} \right)\bigcup \left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+\delta \right)\]
Проколотая $\delta $-окрестность точки ${{x}_{0}}$ — это все числа в пределах от ${{x}_{0}}-\delta $ до ${{x}_{0}}+\delta $, кроме самой точки ${{x}_{0}}$.:)
