Эта теорема существует в двух версиях, поэтому и урок будет состоять из двух частей:
Обе теоремы доказываются одинаково (буквально слово в слово), просто во втором случае вместо «отрезок $\left[ a;b \right]$» нужно везде подставить «компакт $K$».
Понятие компакта будет дано во второй части урока. Там же будет краткая теоретическая справка о компактах.
А сейчас начнём с ключевого определения.
Определение 1. Функция $f:E\to \mathbb{R}$ называется равномерно непрерывной на множестве $E\subset \mathbb{R}$, если для любого $\varepsilon \gt 0$ найдётся $\delta =\delta \left( \varepsilon \right) \gt 0$ такое, что для любых точек ${{x}_{1}}\in E$ и ${{x}_{2}}\in E$ из условия $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right| \lt \delta $ следует неравенство $\left| f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right) \right| \lt \varepsilon $.
По равномерной непрерывности есть отдельный урок. Сейчас отметим только, что если функция равномерно непрерывна на множестве $E$, то она также и просто непрерывна на этом множестве.
А вот обратное не верно: из обычной непрерывности на множестве $E$ далеко не всегда следует равномерная непрерывность. Тут к делу и подключается теорема Кантора.
Вообще-то полное название: теорема Кантора—Гейне о равномерной непрерывности. Но во многих книгах «Гейне» опускают и оставляют только Кантора.:)
Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нём.
Рассмотрим отрезок $\left[ a;b \right]$. Пусть функция $f:\left[ a;b \right]\to \mathbb{R}$ непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right]$.
Зафиксируем произвольное $\varepsilon \gt 0$ и попытаемся найти для него $\delta =\delta \left( \varepsilon \right) \gt 0$ такое, чтобы выполнялось определение равномерной непрерывности.
1. По условию функция $f\left( x \right)$ непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right]$. Следовательно, для всякого числа ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$ найдётся такое $\delta =\delta \left( \varepsilon ,{{x}_{0}} \right) \gt 0$, что
\[\forall \left( x\in {{U}_{\delta }}\left( {{x}_{0}} \right)\bigcap \left[ a;b \right] \right):\quad \left| f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right) \right| \lt {\varepsilon }/{2}\;\]
\[\begin{align} \forall& \left( x\in {{U}_{\delta }}\left( {{x}_{0}} \right)\bigcap \left[ a;b \right] \right): \\ & \left| f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right) \right| \lt {\varepsilon }/{2}\; \\ \end{align}\]
Обратите внимание: $\delta $-окрестность пересекается с исходным отрезком $\left[ a;b \right]$ — и уже в этом множестве выбирается переменная $x$. Это написано для строгости доказательства, чтобы к нему не придрались, например, на экзамене.
Кроме того, мы ищем такое $\delta $, чтобы $f\left( x \right)$ отличалось от $f\left( {{x}_{0}} \right)$ именно менее чем на ${\varepsilon }/{2}\;$, а не просто $\varepsilon $. Зачем — станет ясно в конце доказательства.
2. Рассмотрим интервалы $I\left( {{x}_{0}} \right)$ вида
\[I\left( {{x}_{0}} \right)=\left( {{x}_{0}}-\frac{\delta }{2};{{x}_{0}}+\frac{\delta }{2} \right)\]
Вновь мы уменьшили отступы: очевидно, что $I\left( {{x}_{0}} \right)\subset {{U}_{\delta }}\left( {{x}_{0}} \right)$. Это легко увидеть на числовой прямой, где $\delta $-окрестность точки ${{x}_{0}}$ (т.е. множество ${{U}_{\delta }}\left( {{x}_{0}} \right)$) отмечено чёрным, а множество $I\left( {{x}_{0}} \right)$ — красным:
Каждый интервал $I\left( {{x}_{0}} \right)$ однозначно определяется двумя числами: центром ${{x}_{0}}$ и радиусом ${\delta \left( {{x}_{0}} \right)}/{2}\;$. Т.е. в конечном счёте и центр, и радиус интервала определяются числом ${{x}_{0}}$. Поэтому для краткости будем писать именно $I\left( {{x}_{0}} \right)$.
3. Заметим, что бесконечное множество интервалов $\left\{ I\left( {{x}_{0}} \right) \right\}$ покрывает отрезок $\left[ a;b \right]$. Согласно лемме о конечном покрытии (она же — принцип Бореля—Лебега; и она же — лемма о покрытии отрезка интервалами), из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие:
\[\left\{ I\left( {{x}_{1}} \right);I\left( {{x}_{2}} \right);\ldots ;I\left( {{x}_{n}} \right) \right\}\]
У каждого интервала $I\left( {{x}_{k}} \right)$ будет свой радиус ${\delta \left( {{x}_{k}} \right)}/{2}\;$, но таких интервалов (и таких радиусов) теперь будет конечный набор. Поэтому выберем наименьший из этих радиусов:
\[\delta =\min \left\{ \frac{\delta \left( {{x}_{1}} \right)}{2};\frac{\delta \left( {{x}_{2}} \right)}{2};\ldots ;\frac{\delta \left( {{x}_{n}} \right)}{2} \right\}\]
Это и будет тем самым $\delta =\delta \left( \varepsilon \right) \gt 0$, которое нужно предъявить для зафиксированного $\varepsilon \gt 0$, по которому определяется равномерная непрерывность. Проверим это.
Возьмём произвольные числа ${x}'$ и ${x}''$ такие, что $\left| {x}'-{x}'' \right| \lt \delta $. Тогда в конечном покрытии для указанного ${x}'$ найдётся интервал $I\left( {{x}_{k}} \right)$ такой, что ${x}'\in I\left( {{x}_{k}} \right)$, т.е. $\left| {x}'-{{x}_{k}} \right| \lt {\delta \left( {{x}_{k}} \right)}/{2}\;$. Но тогда
\[\begin{align} \left| {x}''-{{x}_{k}} \right| & =\left| {x}''-{x}'+{x}'-{{x}_{k}} \right|\le \\ & \le \left| {x}''-{x}' \right|+\left| {x}'-{{x}_{k}} \right| \lt \\ & \lt \delta +{\delta \left( {{x}_{k}} \right)}/{2}\;\le \\ & \le {\delta \left( {{x}_{k}} \right)}/{2}\;+{\delta \left( {{x}_{k}} \right)}/{2}\;=\delta \left( {{x}_{k}} \right) \end{align}\]
Последнее неравенство является нестрогим именно потому, что величина $\delta $ — это минимум из величин ${\delta \left( {{x}_{k}} \right)}/{2}\;$ при $k\in \left\{ 1,\ldots ,n \right\}$. Впрочем, в этой цепочке присутствует и строгое неравенство, поэтому можем записать:
\[\left| {x}''-{{x}_{k}} \right| \lt \delta \left( {{x}_{k}} \right)\]
С геометрической точки зрения это можно представить так:
Какими бы ни были ${x}'$ и ${x}''$, расстояние между ними меньше $\delta \le {\delta \left( {{x}_{k}} \right)}/{2}\;$. И расстояние между ${{x}_{k}}$ и ${x}'$ тоже меньше ${\delta \left( {{x}_{k}} \right)}/{2}\;$. Поэтому расстояние между ${{x}_{k}}$ и ${x}''$ гарантированно меньше $\delta \left( {{x}_{k}} \right)$.
Но это значит, что ${x}'\in {{U}_{\delta \left( {{x}_{k}} \right)}}\left( {{x}_{k}} \right)$ и ${x}''\in {{U}_{\delta \left( {{x}_{k}} \right)}}\left( {{x}_{k}} \right)$. Вот здесь мы и вспоминаем про отступ ${\varepsilon }/{2}\;$ из первого пункта:
\[\begin{align} \left| f\left( {{x}'} \right)-f\left( {{x}''} \right) \right| & =\left| f\left( {{x}'} \right)-f\left( {{x}_{k}} \right)+f\left( {{x}_{k}} \right)-f\left( {{x}''} \right) \right|\le \\ & \le \left| f\left( {{x}'} \right)-f\left( {{x}_{k}} \right) \right|+\left| f\left( {{x}_{k}} \right)-f\left( {{x}''} \right) \right| \lt \\ & \lt \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon \end{align}\]
\[\begin{align} & \left| f\left( {{x}'} \right)-f\left( {{x}''} \right) \right|= \\ = & \left| f\left( {{x}'} \right)-f\left( {{x}_{k}} \right)+f\left( {{x}_{k}} \right)-f\left( {{x}''} \right) \right|\le \\ \le & \left| f\left( {{x}'} \right)-f\left( {{x}_{k}} \right) \right|+\left| f\left( {{x}_{k}} \right)-f\left( {{x}''} \right) \right| \lt \\ \lt & \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon \\ \end{align}\]
Итак, для указанного $\varepsilon \gt 0$ мы подобрали $\delta =\delta \left( \varepsilon \right) \gt 0$ такое, что для любой пары чисел ${x}'\in \left[ a;b \right]$ и ${x}''\in \left[ a;b \right]$ из условия $\left| {x}'-{x}'' \right| \lt \delta $ следует неравенство $\left| f\left( {{x}'} \right)-f\left( {{x}''} \right) \right| \lt \varepsilon $.
Заметим, что величина $\delta $ зависит лишь от $\varepsilon $ и не зависит от положения точек ${x}'$ и ${x}''$ (от точек зависит лишь выбор элемента конечного покрытия). А это и есть определение равномерной непрерывности. Теорема доказана.
Обобщение теоремы Кантора—Гейне на произвольный компакт вместо отрезка. Перед тем как сформулировать и доказать её, дадим определение компакта и связанных с ним терминов.
Определение 2. Точка $a$ называется предельной точкой для непустого множества $M$, если в любой проколотой $\delta $-окрестности ${{\overset{\circ }{\mathop{U}}\,}_{\delta }}\left( a \right)$ найдутся точки $x\in M$.
Типичный пример предельных точек — концы интервала $\left( a;b \right)$. В любой окрестности концов есть точки из интервала $\left( a;b \right)$, хотя сами концы интервалу не принадлежат. Но могут и принадлежать — в таком случае это будет не интервал $\left( a;b \right)$, а отрезок $\left[ a;b \right]$.
Определение 3. Непустое множество $M$ называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Из предыдущего примера ясно, что отрезок $\left[ a;b \right]$ является замкнутым, а интервал $\left( a;b \right)$ — нет.
Определение 4. Непустое замкнутое и ограниченное множество $K$ называется компактом.
Всякий отрезок — частный случай компакта. Объединение конечного количества отрезов — тоже компакт. Подробно об этом — в уроке про замкнутые и открытые множества.
Перейдём к обобщённой теореме.
Теорема 2. Функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём.
Доказательство дословно повторяет «классическую» теорему для отрезков. Поэтому оформим в виде кратких тезисов.
Пусть $K$ — компакт, функция $f:K\to \mathbb{R}$ непрерывна на $K$. Зафиксируем $\varepsilon \gt 0$ и найдём $\delta =\delta \left( \varepsilon \right) \gt 0$ такое, чтобы выполнялось определение равномерной непрерывности.
1. Поскольку $f\left( x \right)$ непрерывна на $K$, для указанного $\varepsilon \gt 0$ и всякой точки $a\in K$ найдётся окрестность радиуса $\delta \left( a \right) \gt 0$ такая, что
\[\forall \left( x\in {{U}_{\delta }}\left( a \right)\bigcap K \right):\quad \left| f\left( x \right)-f\left( a \right) \right| \lt {\varepsilon }/{2}\;\]
\[\begin{align} \forall & \left( x\in {{U}_{\delta }}\left( a \right)\bigcap K \right): \\ & \left| f\left( x \right)-f\left( a \right) \right| \lt {\varepsilon }/{2}\; \\ \end{align}\]
2. Рассмотрим интервалы $I\left( a \right)$ вида
\[I\left( a \right)=\left( a-\frac{\delta }{2};a+\frac{\delta }{2} \right)\]
Каждый интервал $I\left( a \right)\subset {{U}_{\delta }}\left( a \right)$ однозначно числом $a$, а в целом множество интервалов $\left\{ I\left( a \right) \right\}$ формирует покрытие компакта $K$. Выберемконечноеподпокрытие:
\[\left\{ I\left( {{a}_{1}} \right);I\left( {{a}_{2}} \right);\ldots ;I\left( {{a}_{n}} \right) \right\}\]
Обозначим за $\delta $ наименьший радиус среди интервалов, входящих в подпокрытие:
\[\delta =\min \left\{ \frac{\delta \left( {{a}_{1}} \right)}{2};\frac{\delta \left( {{a}_{2}} \right)}{2};\ldots ;\frac{\delta \left( {{a}_{n}} \right)}{2} \right\}\]
3. Возьмём произвольные числа ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$ такие, что $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right| \lt \delta $. Найдём в конечном подпокрытии интервал $I\left( {{a}_{k}} \right)$ такой, что ${{x}_{1}}\in I\left( {{a}_{k}} \right)$. Или, что то же самое, $\left| {{x}_{1}}-{{a}_{k}} \right| \lt {\delta \left( {{a}_{k}} \right)}/{2}\;$. Но тогда
\[\begin{align}\left| {{x}_{2}}-{{a}_{k}} \right| & =\left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}}+{{x}_{1}}-{{a}_{k}} \right|\le \\ & \le \left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{1}}-{{a}_{k}} \right| \lt \\ & \lt \delta +{\delta \left( {{a}_{k}} \right)}/{2}\;\le \delta \left( {{a}_{k}} \right) \end{align}\]
Следовательно, ${{x}_{1}}\in {{U}_{\delta \left( {{a}_{k}} \right)}}\left( {{a}_{k}} \right)$ и ${{x}_{2}}\in {{U}_{\delta \left( {{a}_{k}} \right)}}\left( {{a}_{k}} \right)$, из чего получаем:
\[\begin{align}\left| f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right) \right| & =\left| f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{a}_{k}} \right)+f\left( {{a}_{k}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right) \right|\le \\ & \le \left| f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{a}_{k}} \right) \right|+\left| f\left( {{a}_{k}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right) \right| \lt \\ & \lt \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon \end{align}\]
\[\begin{align} & \left| f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right) \right|= \\ = & \left| f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{a}_{k}} \right)+f\left( {{a}_{k}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right) \right|\le \\ \le & \left| f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{a}_{k}} \right) \right|+\left| f\left( {{a}_{k}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right) \right| \lt \\ \lt & \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon \\ \end{align}\]
Итак, для указанного $\varepsilon \gt 0$ предъявлено $\delta =\delta \left( \varepsilon \right) \gt 0$ такое, что
\[\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right| \lt \delta \Rightarrow \left| f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right) \right| \lt \varepsilon \]
Мы убедились в равномерной непрерывности. Теорема доказана.
