У непрерывных функций много интересных свойств. А если непрерывная функция ещё и монотонна, свойств становится ещё больше!
Сегодня мы разберём одно из важнейших таких свойств — критерий непрерывности монотонной функции на отрезке. Урок будет состоять из двух частей:
На самом деле это простая теорема. Сейчас мы в этом убедимся.
Теорема. (критерий непрерывности) Пусть функция $f\left( x \right)$ определена и монотонна на отрезке $\left[ a;b \right]$.
Тогда для непрерывности её на этом отрезке необходимо и достаточно, чтобы для любого числа $m\in \left[ f\left( a \right);f\left( b \right) \right]$ нашлась точка ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$ такая, что $f\left( {{x}_{0}} \right)=m$.
Для доказательства рассмотрим только случай неубывающей функции $f\left( x \right)$ на отрезке $\left[ a;b \right]$.
Докажем необходимость: если функция непрерывна, то для всякого $m\in \left[ f\left( a \right);f\left( b \right) \right]$ найдётся ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$ такое, что $f\left( {{x}_{0}} \right)=m$.
1. Итак, дана непрерывная функция $f\left( x \right)$. Возьмём произвольное число $m\in \left[ f\left( a \right);f\left( b \right) \right]$ и попытаемся найти ${{x}_{0}}$. Если $m=f\left( a \right)$, то всё найдено: ${{x}_{0}}=a$. То же самое, если $m=f\left( b \right)$ — в этом случае ${{x}_{0}}=b$.
2. Пусть теперь $f\left( a \right) \lt m \lt f\left( b \right)$. Тогда рассмотрим множество $A\subset \left[ a;b \right]$ таких чисел, для которых $f\left( x \right)\ge m$:
\[A=\left\{ x|x\in \left[ a;b \right];f\left( x \right)\ge m \right\}\]
Это множество ограничено концами отрезка:
\[\forall \left( x\in A \right):\quad a\le x\le b\]
Следовательно, у него есть точная нижняя грань. Вот её и обозначим как
\[{{x}_{0}}=\inf A\in \left[ a;b \right]\]
Если начертить график функции $y=f\left( x \right)$, то множество $A$, а также границы $y=m$ и $x={{x}_{0}}$ будут выглядеть примерно так:
3. Покажем, что $f\left( {{x}_{0}} \right)=m$. Мы знаем, что функция $f\left( x \right)$ неубывающая, поэтому для всех $x \gt {{x}_{0}}$ выполняется неравенство $f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right)$. Следовательно, предел справа
\[\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)=\inf\limits_{x \gt {{x}_{0}}}f\left( x \right)={{m}_{1}}\ge m\]
Аналогично, если ${{x}_{0}}\ne a$, то при $x \lt {{x}_{0}}$ имеем $f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right)$. Поэтому предел слева
\[\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right)=\sup\limits_{x \lt {{x}_{0}}}f\left( x \right)={{m}_{2}}\le m\]
Объединяем два неравенства в одно:
\[\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right)={{m}_{2}}\le m\le {{m}_{1}}=\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)\]
Но функция $f\left( x \right)$ непрерывна на $\left[ a;b \right]$, а значит, непрерывна и в ${{x}_{0}}$. Поэтому
\[{{m}_{2}}={{m}_{1}}=m\Rightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)=m\]
4. Если в предыдущем пункте окажется, что ${{x}_{0}}=a$, то
\[f\left( a \right)\le m\le {{m}_{1}}\]
Но функция$f\left( x \right)$ непрерывна справа в точке ${{x}_{0}}=a$, поэтому
\[f\left( a \right)={{m}_{1}}=m\Rightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)=m\]
Необходимость полностью доказана.
Докажем достаточность: если для всякого $m\in \left[ f\left( a \right);f\left( b \right) \right]$ найдётся ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$ такое, что $f\left( {{x}_{0}} \right)=m$, то этого достаточно, чтобы функция точно была непрерывна.
1. Предположим противное: пусть функция $f\left( x \right)$ терпит разрыв в некой точке ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$. По теореме о точках разрыва монотонной функции на отрезке, это будет неустранимый разрыв первого рода:
\[\begin{align} \lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right) & ={{m}_{1}} \\ \lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right) & ={{m}_{2}} \\ {{m}_{1}} & \ne {{m}_{2}} \end{align}\]
2. Поскольку $f\left( x \right)$ не убывает на $\left[ a;b \right]$, определена в ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$, но терпит в ${{x}_{0}}$ разрыв первого рода, заключаем
\[\begin{align} \lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right) & ={{m}_{2}} \lt {{m}_{1}}=\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right) \\ {{m}_{2}} & \le f\left( {{x}_{0}} \right)\le {{m}_{1}} \end{align}\]
3. Возьмём любое число $m\in \left( {{m}_{2}};{{m}_{1}} \right)$ такое, чтобы $f\left( {{x}_{0}} \right)\ne m$. Такое число обязательно найдётся, что легок понять по графику:
Для указанного числа $m$ получим:
\[\begin{align} & x \lt {{x}_{0}}\Rightarrow f\left( x \right) \lt m \\ & x \gt {{x}_{0}}\Rightarrow f\left( x \right) \gt m \\ & x={{x}_{0}}\Rightarrow f\left( x \right)\ne m \\ \end{align}\]
Получается, что функция $f\left( x \right)$ не принимает значение $m$ ни в одной точке отрезка $\left[ a;b \right]$. Получили противоречие с условием теоремы. Следовательно, теорема полностью доказана.
Геометрический смысл теоремы вполне нагляден и очевиден. График строго монотонной функции $y=f\left( x \right)$ на отрезке $\left[ a;b \right]$ выглядит так:
Здесь приведён случай возрастающей функции. Её значения образуют на оси ординат отрезок с нижним концом $f\left( a \right)$ и верхним концом $f\left( b \right)$.
Если теперь отметить на оси ординат любое число $m\in \left[ f\left( a \right);f\left( b \right) \right]$ и провести на отмеченной высоте горизонтальную прямую, то мы неизбежно пересечём график функции $y=f\left( x \right)$ в некой точке с абсциссой ${{x}_{1}}$. Вот мы и нашли такое значение переменой, для которой $f\left( {{x}_{1}} \right)=m$.
Разумеется, таких значений ${{x}_{1}}$ может быть несколько. Например, в случае нестрогого возрастания, когда с ростом $x$ функция $f\left( x \right)$ может расти, а может оставаться неизменной. Простой пример:
Видим, что функция «задерживается» на уровне $y=m$, поэтому для этого уровня найдётся сразу множество чисел ${{x}_{1}}$, для которых $f\left( {{x}_{1}} \right)=m$.
В рамках данной теоремы не имеет значения, сколько именно найдётся таких ${{x}_{1}}$. Главное — они найдётся обязательно.
