Typesetting math: 14%

Умножение матриц

Итак, в предыдущем уроке мы разобрали правила сложения и вычитания матриц. Это настолько простые операции, что большинство студентов понимают их буквально с ходу.

Однако вы рано радуетесь. Халява закончилась — переходим к умножению. Сразу предупрежу: умножить две матрицы — это вовсе не перемножить числа, стоящие в клеточках с одинаковыми координатами, как бы вы могли подумать. Тут всё намного веселее. И начать придётся с предварительных определений.

Согласованные матрицы

Одна из важнейших характеристик матрицы — это её размер. Мы уже сто раз говорили об этом: запись означает, что в матрице ровно строк и столбцов. Как не путать строки со столбцами, мы тоже уже обсуждали. Сейчас важно другое.

Определение. Матрицы вида и , в которых количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй, называются согласованными.

Ещё раз: количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй! Отсюда получаем сразу два вывода:

  1. Нам важен порядок матриц. Например, матрицы и являются согласованными (2 столбца в первой матрице и 2 строки во второй), а вот наоборот — матрицы и — уже не согласованы (5 столбцов в первой матрице — это как бы не 3 строки во второй).
  2. Согласованность легко проверить, если выписать все размеры друг за другом. На примере из предыдущего пункта: «3 2 2 5» — посередине одинаковые числа, поэтому матрицы согласованы. А вот «2 5 3 2» — не согласованы, поскольку посередине разные числа.

Кроме того, капитан очевидность как бы намекает, что квадратные матрицы одинакового размера согласованы всегда.

В математике, когда важен порядок перечисления объектов (например, в рассмотренном выше определении важен порядок матриц), часто говорят об упорядоченных парах. Мы встречались с ними ещё в школе: думаю, и ежу понятно, что координаты и задают разные точки на плоскости.

Так вот: координаты — это тоже упорядоченные пары, которые составляются из чисел. Но ничто не мешает составить такую пару из матриц. Тогда можно будет сказать: «Упорядоченная пара матриц является согласованной, если количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй».

Ну и что с того?

Определение умножения

Рассмотрим две согласованные матрицы: и . И определим для них операцию умножения.

Определение. Произведение двух согласованных матриц и — это новая матрица , элементы которой считаются по формуле:

Обозначается такое произведение стандартно: .

По-моему, тут всё очевидно. Дальше можно не читать. [на самом деле нет]

У тех, кто впервые видит это определение, сразу возникает два вопроса:

  1. Что это за лютая дичь?
  2. А почему так сложно?

Что ж, обо всём по порядку. Начнём с первого вопроса. Что означают все эти индексы? И как не ошибиться при работе с реальными матрицами?

Прежде всего заметим, что длинная строчка для расчёта (специально поставил точку с запятой между индексами, чтобы не запутаться, но вообще их ставить не надо — я сам задолбался набирать формулу в определении) на самом деле сводится к простому правилу:

  1. Берём -ю строку в первой матрице;
  2. Берём -й столбец во второй матрице;
  3. Получаем две последовательности чисел. Перемножаем элементы этих последовательностей с одинаковыми номерами, а затем складываем полученные произведения.

Данный процесс легко понять по картинке:

Схема перемножения двух матриц

Ещё раз: фиксируем строку в первой матрице, столбец во второй матрице, перемножаем элементы с одинаковыми номерами, а затем полученные произведения складываем — получаем . И так для всех и . Т.е. всего будет таких «извращений».

На самом деле мы уже встречались с перемножением матриц в школьной программе, только в сильно урезанном виде. Пусть даны вектора:

Тогда их скалярным произведением будет именно сумма попарных произведений:

По сути, в те далёкие годы, когда деревья были зеленее, а небо ярче, мы просто умножали вектор-строку на вектор-столбец .

Сегодня ничего не поменялось. Просто теперь этих векторов-строк и столбцов стало больше.

Но хватит теории! Давайте посмотрим на реальные примеры. И начнём с самого простого случая — квадратных матриц.

Умножение квадратных матриц

Задача 1. Выполните умножение:

Решение. Итак, у нас две матрицы: и . Понятно, что они согласованы (квадратные матрицы одинакового размера всегда согласованы). Поэтому выполняем умножение:

Вот и всё!

Ответ: .

Задача 2. Выполните умножение:

Решение. Опять согласованные матрицы, поэтому выполняем действия:

Как видим, получилась матрица, заполненная нулями

Ответ: .

Из приведённых примеров очевидно, что умножение матриц — не такая уж и сложная операция. По крайней мере для квадратных матриц размера 2 на 2.

В процессе вычислений мы составили промежуточную матрицу, где прямо расписали, какие числа входят в ту или иную ячейку. Именно так и следует делать при решении настоящих задач.

Основные свойства матричного произведения

В двух словах. Умножение матриц:

  1. Некоммутативно: в общем случае. Бывают, конечно, особые матрицы, для которых равенство (например, если — единичной матрице), но в абсолютном большинстве случаев это не работает;
  2. Ассоциативно: . Тут без вариантов: стоящие рядом матрицы можно перемножать, не переживая за то, что стоит левее и правее этих двух матриц.
  3. Дистрибутивно: и (в силу некоммутативности произведения приходится отдельно прописывать дистрибутивность справа и слева.

А теперь — всё то же самое, но более подробно.

Умножение матриц во многом напоминает классическое умножение чисел. Но есть отличия, важнейшее из которых состоит в том, что умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно.

Рассмотрим ещё раз матрицы из задачи 1. Прямое их произведение мы уже знаем:

Но если поменять матрицы местами, то получим совсем другой результат:

Получается, что . Кроме того, операция умножения определена только для согласованных матриц и , но никто не гарантировал, что они останутся согласованными, если их поменять местами. Например, матрицы и вполне себе согласованы в указанном порядке, но те же матрицы и , записанные в обратном порядке, уже не согласованы. Печаль.:(

Среди квадратных матриц заданного размера всегда найдутся такие, которые дают одинаковый результат как при перемножении в прямом, так и в обратном порядке. Как описать все подобные матрицы (и сколько их вообще) — тема для отдельного урока. Сегодня не будем об этом.:)

Тем не менее, умножение матриц ассоциативно:

Следовательно, когда вам надо перемножить сразу несколько матриц подряд, совсем необязательно делать это напролом: вполне возможно, что некоторые рядом стоящие матрицы при перемножении дают интересный результат. Например, нулевую матрицу, как в Задаче 2, рассмотренной выше.

В реальных задачах чаще всего приходится перемножать квадратные матрицы размера . Множество всех таких матриц обозначается (т.е. записи и

означают одно и то же), и в нём обязательно найдётся матрица , которую называют единичной.

Определение. Единичная матрица размера — это такая матрица , что для любой квадратной матрицы выполняется равенство:

Такая матрица всегда выглядит одинаково: на главной диагонали её стоят единицы, а во всех остальных клетках — нули.

Идём далее. Помимо ассоциативности умножение матриц ещё и дистрибутивно:

Другими словами, если нужно умножить одну матрицу на сумму двух других, то можно умножить её на каждую из этих «двух других», а затем результаты сложить. На практике обычно приходится выполнять обратную операцию: замечаем одинаковую матрицу, выносим её за скобку, выполняем сложение и тем самым упрощаем себе жизнь.:)

Заметьте: для описания дистрибутивности нам пришлось прописать две формулы: где сумма стоит во втором множителе и где сумма стоит в первом. Это происходит как раз из-за того, что умножение матриц некоммутативно (и вообще, в некоммутативной алгебре куча всяких приколов, которые при работе с обычными числами даже не приходят в голову). И если, допустим, вам на экзамене нужно будет расписать это свойство, то обязательно пишите обе формулы, иначе препод может немного разозлиться.

Ладно, всё это были сказки о квадратных матрицах. А что насчёт прямоугольных?

Случай прямоугольных матриц

А ничего — всё то же самое, что и с квадратными.

Задача 3. Выполните умножение:

Решение. Имеем две матрицы: и . Выпишем числа, обозначающие размеры, в ряд:

Как видим, центральные два числа совпадают. Значит, матрицы согласованы, и их можно перемножить. Причём на выходе мы получим матрицу :

Всё чётко: в итоговой матрице 3 строки и 2 столбца. Вполне себе .

Ответ: .

Сейчас рассмотрим одно из лучших тренировочных заданий для тех, кто только начинает работать с матрицами. В нём нужно не просто перемножить какие-то две таблички, а сначала определить: допустимо ли такое умножение?

Рекомендую после прочтения задания не смотреть в решение, а сначала попробовать выполнить его самостоятельно. И затем сравнить с ответами.

Задача 4. Найдите все возможные попарные произведения матриц:

; ; .

Решение. Для начала запишем размеры матриц:

Получаем, что матрицу можно согласовать лишь с матрицей , поскольку количество столбцов у равно 4, а такое количество строк только у . Следовательно, можем найти произведение:

Промежуточные шаги предлагаю выполнить читателю самостоятельно. Замечу лишь, что размер результирующей матрицы лучше определять заранее, ещё до каких-либо вычислений:

Другими словами, мы просто убираем «транзитные» коэффициенты, которые обеспечивали согласованность матриц.

Какие ещё возможны варианты? Безусловно, можно найти , поскольку , , поэтому упорядоченная пара является согласованной, а размерность произведения будет:

Короче говоря, на выходе будет матрица , коэффициенты которой легко считаются:

Очевидно, можно согласовать ещё и — и всё. Поэтому просто запишем полученные произведения:

Это было легко.:)

Ответ: ; ; ; .

Вообще, очень рекомендую выполнить это задание самостоятельно. И ещё одно аналогичное задание, которое есть в домашней работе. Эти простые на первый взгляд размышления помогут вам отработать все ключевые этапы умножения матриц.

Но на этом история не заканчивается. Переходим к частным случаям умножения.:)

Вектор-строки и вектор-столбцы

Одной из самых распространённых матричных операций является умножение на матрицу, в которой одна строка или один столбец.

Определение. Вектор-столбец — это матрица размера , т.е. состоящая из нескольких строк и только одного столбца.

Вектор-строка — это матрица размера , т.е. состоящая из одной строки и нескольких столбцов.

На самом деле мы уже встречались с этими объектами. Например, обычный трёхмерный вектор из стереометрии — это не что иное как вектор-строка. С точки зрения теории разницы между строками и столбцами почти нет. Внимательными надо быть разве что при согласовании с окружающими матрицами-множителями.

Задача 5. Выполните умножение:

Решение. Перед нами произведение согласованных матриц: . Найдём это произведение:

Ответ: .

Задача 6. Выполните умножение:

Решение. Опять всё согласовано: . Считаем произведение:

На самом деле мне было в лом считать все эти три числа — посчитайте сами. А я просто запишу ответ.:)

Ответ: .

Как видите, при умножении вектор-строки и вектор-столбца на квадратную матрицу на выходе мы всегда получаем строку или столбец того же размера. Этот факт имеет множество приложений — от решения линейных уравнений до всевозможных преобразований координат (которые в итоге тоже сводятся к системам уравнений, но давайте не будем о грустном).

Думаю, здесь всё было очевидно. Переходим к заключительной части сегодняшнего урока.

Возведение матрицы в степень

Среди всех операций умножения отдельного внимания заслуживает возведение в степень — это когда мы несколько раз умножаем один и тот же объект на самого себя. Матрицы — не исключение, их тоже можно возводить в различные степени.

Такие произведения всегда согласованы:

И обозначаются точно так же, как и обычные степени:

На первый взгляд, всё просто. Посмотрим, как это выглядит на практике:

Задача 7. Возведите матрицу в указанную степень:

Решение. Ну ОК, давайте возводить. Сначала возведём в квадрат:

Вот и всё.:)

Ответ: .

Задача 8. Возведите матрицу в указанную степень:

Решение. Вот только не надо сейчас плакать по поводу того, что «степень слишком большая», «мир не справедлив» и «преподы совсем берега потеряли». На самом деле всё легко:

Заметьте: во второй строчке мы использовали ассоциативность умножения. Собственно, мы использовали её и в предыдущем задании, но там это было неявно.

Ответ: .

Как видите, ничего сложного в возведении матрицы в степень нет. Последний пример можно обобщить:

Этот факт легко доказать через математическую индукцию или прямым перемножением. Однако далеко не всегда при возведении в степень можно выловить подобные закономерности. Поэтому будьте внимательны: зачастую перемножить несколько матриц «напролом» оказывается проще и быстрее, нежели искать какие-то там закономерности.

В общем, не ищите высший смысл там, где его нет. В заключение рассмотрим возведение в степень матрицы большего размера — аж .

Задача 9. Возведите матрицу в указанную степень:

Решение. Не будем искать закономерности. Работаем «напролом»:

Для начала возведём эту матрицу в квадрат:

Теперь возведём в куб:

Вот и всё. Задача решена.

Ответ: .

Как видите, объём вычислений стал больше, но смысл от этого нисколько не поменялся.:)

На этом урок можно заканчивать. В следующий раз мы рассмотрим обратную операцию: по имеющемуся произведению будем искать исходные множители.

Как вы уже, наверное, догадались, речь пойдёт об обратной матрице и методах её нахождения.

Смотрите также:
  1. Определитель
  2. Обратная матрица