В этом уроке мы детально рассмотрим несколько ключевые вопросов и определений, благодаря чему вы раз и навсегда разберётесь и с матрицами, и с определителями, и со всеми их свойствами.
Определители — центральное понятие в алгебре матриц. Подобно формулам сокращённого умножения, они будут преследовать вас на протяжении всего курса высшей математики. Поэтому читаем, смотрим и разбираемся досконально.:)
И начнём мы с самого сокровенного — а что такое матрица? И как правильно с ней работать.
Правильная расстановка индексов в матрице
Матрица — это просто таблица, заполненная числами. Нео тут ни при чём.
Одна из ключевых характеристик матрицы — это её размерность, т.е. количество строк и столбцов, из которых она состоит. Обычно говорят, что некая матрица $A$ имеет размер $\left[ m\times n \right]$, если в ней имеется $m$ строк и $n$ столбцов. Записывают это так:
Бывают и другие обозначения — тут всё зависит от предпочтений лектора/ семинариста/ автора учебника. Но в любом случае со всеми этими $\left[ m\times n \right]$ и ${{a}_{ij}}$ возникает одна и та же проблема:
Какой индекс за что отвечает? Сначала идёт номер строки, затем — столбца? Или наоборот?
При чтении лекций и учебников ответ будет казаться очевидным. Но когда на экзамене перед вами — только листик с задачей, можно переволноваться и внезапно запутаться.
Поэтому давайте разберёмся с этим вопросом раз и навсегда. Для начала вспомним обычную систему координат из школьного курса математики:
Введение системы координат на плоскости
Помните её? У неё есть начало координат (точка $O=\left( 0;0 \right)$) оси $x$и $y$, а каждая точка на плоскости однозначно определяется по координатам: $A=\left( 1;2 \right)$, $B=\left( 3;1 \right)$ и т.д.
А теперь давайте возьмём эту конструкцию и поставим её рядом с матрицей так, чтобы начало координат находилось в левом верхнем углу. Почему именно там? Да потому что открывая книгу, мы начинаем читать именно с левого верхнего угла страницы — запомнить это легче лёгкого.
Но куда направить оси? Мы направим их так, чтобы вся наша виртуальная «страница» была охвачена этими осями. Правда, для этого придётся повернуть нашу систему координат. Единственно возможный вариант такого расположения:
Наложение системы координат на матрицу
Теперь всякая клетка матрицы имеет однозначные координаты $x$ и $y$. Например запись ${{a}_{24}}$ означает, что мы обращаемся к элементу с координатами $x=2$ и $y=4$. Размеры матрицы тоже однозначно задаются парой чисел:
Определение индексов в матрице
Просто всмотритесь в эту картинку внимательно. Поиграйтесь с координатами (особенно когда будете работать с настоящими матрицами и определителями) — и очень скоро поймёте, что даже в самых сложных теоремах и определениях вы прекрасно понимаете, о чём идёт речь.
Разобрались? Что ж, переходим к первому шагу просветления — геометрическому определению определителя.:)
Геометрическое определение
Прежде всего хотел бы отметить, что определитель существует только для квадратных матриц вида $\left[ n\times n \right]$. Определитель — это число, которое cчитается по определённым правилам и является одной из характеристик этой матрицы (есть другие характеристики: ранг, собственные вектора, но об этом в других уроках).
Ну и что это за характеристика? Что он означает? Всё просто:
Определитель квадратной матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ — это объём $n$-мерного параллелепипеда, который образуется, если рассмотреть строки матрицы в качестве векторов, образующих рёбра этого параллелепипеда.
Например, определитель матрицы размера 2x2 — это просто площадь параллелограмма, а для матрицы 3x3 это уже объём 3-мерного параллелепипеда — того самого, который так бесит всех старшеклассников на уроках стереометрии.
На первый взгляд это определение может показаться совершенно неадекватным. Но давайте не будем спешить с выводами — глянем на примеры. На самом деле всё элементарно, Ватсон:
Осталось разобраться с последним определителем — там уже матрица 3x3. Придётся вспоминать стереометрию:
Определитель 3x3 — это объём параллелепипеда
Выглядит мозговыносяще, но по факту достаточно вспомнить формулу объёма параллелепипеда:
\[V=S\cdot h\]
где $S$ — площадь основания (в нашем случае это площадь параллелограмма на плоскости $OXY$), $h$ — высота, проведённая к этому основанию (по сути, $z$-координата вектора ${{v}_{3}}$).
Площадь параллелограмма (мы начертили его отдельно) тоже считается легко:
Небольшое замечание по поводу системы обозначений. Кому-то наверняка не понравится, что я игнорирую «стрелочки» над векторами. Якобы так можно спутать вектор с точкой или ещё с чем.
Но давайте серьёзно: мы с вами уже взрослые мальчики и девочки, поэтому из контекста прекрасно понимаем, когда речь идёт о векторе, а когда — о точке. Стрелки лишь засоряют повествование, и без того под завязку напичканное математическими формулами.
И ещё. В принципе, ничто не мешает рассмотреть и определитель матрицы 1x1 — такая матрица представляет собой просто одну клетку, а число, записанное в этой клетке, и будет определителем. Но тут есть важное замечание:
В отличие от классического объёма, определитель даст нам так называемый «ориентированный объём», т.е. объём с учётом последовательности рассмотрения векторов-строк.
И если вы хотите получить объём в классическом смысле этого слова, придётся взять модуль определителя, но сейчас не стоит париться об этом — всё равно через несколько секунд мы научимся считать любой определитель с любыми знаками, размерами и т.д.:)
Алгебраическое определение
При всей красоте и наглядности геометрического подхода у него есть серьёзный недостаток: он ничего не говорит нам о том, как этот самый определитель считать.
Поэтому сейчас мы разберём альтернативное определение — алгебраическое. Для этого нам потребуется краткая теоретическая подготовка, зато на выходе мы получим инструмент, позволяющий считать в матрицах что и как угодно.
Правда, там появится новая проблема... но обо всём по порядку.
Перестановки и инверсии
Давайте выпишем в строчку числа от 1 до $n$. Получится что-то типа этого:
\[1;2;3;4;5;...;n-1;n\]
Теперь (чисто по приколу) поменяем парочку чисел местами. Можно поменять соседние:
\[1;3;2;4;5;...;n-1;n\]
А можно — не особо соседние:
\[n;2;3;4;5;...;n-1;1\]
И знаете, что? А ничего! В алгебре эта хрень называется перестановкой. И у неё есть куча свойств.
Определение. Перестановка длины $n$ — строка из $n$ различных чисел, записанных в любой последовательности. Обычно рассматриваются первые $n$ натуральных чисел (т.е. как раз числа 1, 2, ..., $n$), а затем их перемешивают для получения нужной перестановки.
Обозначаются перестановки так же, как и векторы — просто буквой и последовательным перечислением своих элементов в скобках. Например: $p=\left( 1;3;2 \right)$ или $p=\left( 2;5;1;4;3 \right)$. Буква может быть любой, но пусть будет $p$.:)
Далее для простоты изложения будем работать с перестановками длины 5 — они уже достаточно серьёзны для наблюдения всяких подозрительных эффектов, но ещё не настолько суровы для неокрепшего мозга, как перестановки длины 6 и более. Вот примеры таких перестановок:
Естественно, перестановку длины $n$ можно рассматривать как функцию, которая определена на множестве $\left\{ 1;2;...;n \right\}$ и биективно отображает это множество на себя же. Возвращаясь к только что записанным перестановкам ${{p}_{1}}$, ${{p}_{2}}$ и ${{p}_{3}}$, мы вполне законно можем написать:
Количество различных перестановок длины $n$ всегда ограничено и равно $n!$ — это легко доказуемый факт из комбинаторики. Например, если мы захотим выписать все перестановки длины 5, то мы весьма заколебёмся, поскольку таких перестановок будет
\[n!=5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\]
Одной из ключевых характеристик всякой перестановки является количество инверсий в ней.
Определение. Инверсия в перестановке $p=\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}};...;{{a}_{n}} \right)$ — всякая пара $\left( {{a}_{i}};{{a}_{j}} \right)$ такая, что $i \lt j$, но ${{a}_{i}} \gt {{a}_{j}}$. Проще говоря, инверсия — это когда большее число стоит левее меньшего (не обязательно соседнего).
Мы будем обозначать через $N\left( p \right)$ количество инверсий в перестановке $p$, но будьте готовы встретиться и с другими обозначениями в разных учебниках и у разных авторов — единых стандартов тут нет. Тема инверсий весьма обширна, и ей будет посвящён отдельный урок. Сейчас же наша задача — просто научиться считать их в реальных задачах.
Например, посчитаем количество инверсий в перестановке $p=\left( 1;4;5;3;2 \right)$:
Таким образом, $N\left( p \right)=5$. Как видите, ничего страшного в этом нет. Сразу скажу: дальше нас будет интересовать не столько само число $N\left( p \right)$, сколько его чётность/ нечётность. И тут мы плавно переходим к ключевому термину сегодняшнего урока.
Что такое определитель
Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$. Тогда:
Определение. Определитель матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ — это алгебраическая сумма $n!$ слагаемых, составленных следующим образом. Каждое слагаемое — это произведение $n$ элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, умноженное на (−1) в степени количество инверсий:
\[\left| A \right|=\sum\limits_{n!}{{{\left( -1 \right)}^{N\left( p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left( 1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left( 2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left( n \right)}}}\]
Принципиальным моментом при выборе множителей для каждого слагаемого в определителе является тот факт, что никакие два множителя не стоят в одной строчке или в одном столбце.
Благодаря этому можно без ограничения общности считать, что индексы $i$ множителей ${{a}_{i;j}}$ «пробегают» значения 1, ..., $n$, а индексы $j$ являются некоторой перестановкой от первых:
\[j=p\left( i \right),\quad i=1,2,...,n\]
А когда есть перестановка $p$, мы легко посчитаем инверсии $N\left( p \right)$ — и очередное слагаемое определителя готово.
Естественно, никто не запрещает поменять местами множители в каком-либо слагаемом (или во всех сразу — чего мелочиться-то?), и тогда первые индексы тоже будут представлять собой некоторую перестановку. Но в итоге ничего не поменяется: суммарное количество инверсий в индексах $i$ и $j$ сохраняет чётность при подобных извращениях, что вполне соответствует старому-доброму правилу:
От перестановки множителей произведение чисел не меняется.
Вот только не надо приплетать это правило к умножению матриц — в отличие от умножения чисел, оно не коммутативно. Но это я отвлёкся.:)
Матрица 2x2
Вообще-то можно рассмотреть и матрицу 1x1 — это будет одна клетка, и её определитель, как нетрудно догадаться, равен числу, записанному в этой клетке. Ничего интересного.
Поэтому давайте рассмотрим квадратную матрицу размером 2x2:
Очевидно, что в перестановке $\left( 1;2 \right)$, состоящей из двух элементов, нет инверсий, поэтому $N\left( 1;2 \right)=0$. А вот в перестановке $\left( 2;1 \right)$ одна инверсия имеется (собственно, 2 < 1), поэтому $N\left( 2;1 \right)=1.$
Итого универсальная формула вычисления определителя для матрицы 2x2 выглядит так:
При вычислении её определителя мы получим $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ слагаемых — ещё не слишком много для паники, но уже достаточно, чтобы начать искать какие-то закономерности. Для начала выпишем все перестановки из трёх элементов и посчитаем инверсии в каждой из них:
Как и предполагалось, всего выписано 6 перестановок ${{p}_{1}}$, ... ${{p}_{6}}$ (естественно, можно было бы выписать их в другой последовательности — суть от этого не изменится), а количество инверсий в них меняется от 0 до 3.
В общем, у нас будет три слагаемых с «плюсом» (там, где $N\left( p \right)$ — чётное) и ещё три с «минусом». А в целом определитель будет считаться по формуле:
Вот только не надо сейчас садиться и яростно зубрить все эти индексы! Вместо непонятных цифр лучше запомните следующее мнемоническое правило:
Правило треугольника. Для нахождения определителя матрицы 3x3 нужно сложить три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников со стороной, параллельной этой диагонали, а затем вычесть такие же три произведения, но на побочной диагонали. Схематически это выглядит так:
Определитель матрицы 3x3: правило треугольников
Именно эти треугольники (или пентаграммы — кому как больше нравится) любят рисовать во всяких учебниках и методичках по алгебре. Впрочем, не будем о грустном. Давайте лучше посчитаем один такой определитель — для разминки перед настоящей жестью.:)
Осталось лишь вычесть из первого числа второе — и мы получим ответ:
\[185-161=24\]
Вот и всё!
Ответ: 24.
Тем не менее, определители матриц 3x3 — это ещё не вершина мастерства. Самое интересное ждёт нас дальше.:)
Общая схема вычисления определителей
Как мы знаем, с ростом размерности матрицы $n$ количество слагаемых в определителе составляет $n!$ и быстро растёт. Всё-таки факториал — это вам не хрен собачий довольно быстро растущая функция.
Уже для матриц 4x4 считать определители напролом (т.е. через перестановки) становится как-то не оч. Про 5x5 и более вообще молчу. Поэтому к делу подключаются некоторые свойства определителя, но для их понимания нужна небольшая теоретическая подготовка.
Готовы? Поехали!
Что такое минор матрицы
Пусть дана произвольная матрица $A=\left[ m\times n \right]$. Заметьте: не обязательно квадратная. В отличие от определителей, миноры — это такие няшки, которые существуют не только в суровых квадратных матрицах. Выберем в этой матрице несколько (например, $k$) строк и столбцов, причём $1\le k\le m$ и $1\le k\le n$. Тогда:
Определение. Минор порядка $k$ — определитель квадратной матрицы, возникающей на пересечении выбранных $k$ столбцов и строк. Также минором мы будем называть и саму эту новую матрицу.
Обозначается такой минор ${{M}_{k}}$. Естественно, у одной матрицы может быть целая куча миноров порядка $k$. Вот пример минора порядка 2 для матрицы $\left[ 5\times 6 \right]$:
Выбор $k = 2$ столбцов и строк для формирования минора
Совершенно необязательно, чтобы выбранные строки и столбцы стояли рядом, как в рассмотренном примере. Главное, чтобы количество выбранных строк и столбцов было одинаковым (это и есть число $k$).
Есть и другое определение. Возможно, кому-то оно больше придётся по душе:
Определение. Пусть дана прямоугольная матрица $A=\left[ m\times n \right]$. Если после вычеркивания в ней одного или нескольких столбцов и одной или нескольких строк образуется квадратная матрица размера $\left[ k\times k \right]$, то её определитель — это и есть минор ${{M}_{k}}$. Саму матрицу мы тоже иногда будем называть минором — это будет ясно из контекста.
Как говорил мой кот, иногда лучше один раз навернуться с 11-го этажа есть корм, чем мяукать, сидя на балконе.
Считать этот определитель мне уже в лом. Но он равен 53.:)
Читателю не составит труда найти и другие миноры порядков 1, 2 или 3. Поэтому идём дальше.
Алгебраические дополнения
«Ну ok, и что дают нам эти миньоны миноры?» — наверняка спросите вы. Сами по себе — ничего. Но в квадратных матрицах у каждого минора появляется «компаньон» — дополнительный минор, а также алгебраическое дополнение. И вместе эти два ушлёпка позволят нам щёлкать определители как орешки.
Определение. Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$, в которой выбран минор ${{M}_{k}}$. Тогда дополнительный минор для минора ${{M}_{k}}$ — это кусок исходной матрицы $A$, который останется при вычёркивании всех строк и столбцов, задействованных при составлении минора ${{M}_{k}}$:
Дополнительный минор к минору ${{M}_{2}}$
Уточним один момент: дополнительный минор — это не просто «кусок матрицы», а определитель этого куска.
Обозначаются дополнительные миноры с помощью «звёздочки»: $M_{k}^{*}$:
\[M_{k}^{*}=\left| A\nabla {{M}_{k}} \right|\]
где операция $A\nabla {{M}_{k}}$ буквально означает «вычеркнуть из $A$ строки и столбцы, входящие в ${{M}_{k}}$». Эта операция не является общепринятой в математике — я её сам только что придумал для красоты повествования.:)
Дополнительные миноры редко используются сами по себе. Они являются частью более сложной конструкции — алгебраического дополнения.
Определение. Алгебраическое дополнение минора ${{M}_{k}}$ — это дополнительный минор $M_{k}^{*}$, умноженный на величину ${{\left( -1 \right)}^{S}}$, где $S$ — сумма номеров всех строк и столбцов, задействованных в исходном миноре ${{M}_{k}}$.
Как правило, алгебраическое дополнение минора ${{M}_{k}}$ обозначается через ${{A}_{k}}$. Поэтому:
Капитан Очевидность как бы намекает нам, что при составлении этого минора были задействованы строки 1 и 4, а также столбцы 3 и 4. Вычёркиваем их — получим дополнительный минор:
Вот и всё! По сути, всё различие между дополнительным минором и алгебраическим дополнением — только в минусе спереди, да и то не всегда.
Наша задача сейчас — научиться быстро считать алгебраические дополнения, потому что они являются составной частью «Теоремы, Которую Нельзя Называть». Но мы всё же назовём. Встречайте:
Теорема Лапласа
И вот мы пришли к тому, зачем, собственно, все эти миноры и алгебраические дополнения были нужны.
Теорема Лапласа о разложении определителя. Пусть в матрице размера $\left[ n\times n \right]$ выбрано $k$ строк (столбцов), причём $1\le k\le n-1$. Тогда определитель этой матрицы равен сумме всех произведений миноров порядка $k$, содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения:
\[\left| A \right|=\sum{{{M}_{k}}\cdot {{A}_{k}}}\]
Причём таких слагаемых будет ровно $C_{n}^{k}$.
Ладно, ладно: про $C_{n}^{k}$ — это я уже понтуюсь, в оригинальной теореме Лапласа ничего такого не было. Но комбинаторику никто не отменял, и буквально беглый взгляд на условие позволит вам самостоятельно убедиться, что слагаемых будет именно столько.:)
Мы не будем её доказывать, хоть это и не представляет особой трудности — все выкладки сводятся к старым-добрым перестановкам и чётности/ нечётности инверсий. Тем не менее, доказательство будет представлено в отдельном параграфе, а сегодня у нас сугубо практический урок.
Поэтому переходим к частному случаю этой теоремы, когда миноры представляют собой отдельные клетки матрицы.
Разложение определителя по строке и столбцу
То, о чём сейчас пойдёт речь — как раз и есть основной инструмент работы с определителями, ради которого затевались вся эта дичь с перестановками, минорами и алгебраическими дополнениями.
Читайте и наслаждайтесь:
Следствие из Теоремы Лапласа (разложение определителя по строке/столбцу). Пусть в матрице размера $\left[ n\times n \right]$ выбрана одна строка. Минорами в этой строке будут $n$ отдельных клеток:
\[{{M}_{1}}={{a}_{ij}},\quad j=1,...,n\]
Дополнительные миноры тоже легко считаются: просто берём исходную матрицу и вычёркиваем строку и столбец, содержащие ${{a}_{ij}}$. Назовём такие миноры $M_{ij}^{*}$.
Для алгебраического дополнения ещё нужно число $S$, но в случае с минором порядка 1 это просто сумма «координат» клетки ${{a}_{ij}}$:
\[S=i+j\]
И тогда исходный определитель можно расписать через ${{a}_{ij}}$ и $M_{ij}^{*}$ согласно теореме Лапласа:
\[\left| A \right|=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{ij}}\cdot {{\left( -1 \right)}^{i+j}}\cdot {{M}_{ij}}}\]
Это и есть формула разложения определителя по строке. Но то же верно и для столбцов.
Из этого следствия можно сразу сформулировать несколько выводов:
Эта схема одинаково хорошо работает как для строк, так и для столбцов. На самом деле чаще всего разложение будет идти именно по столбцам, нежели по строкам.
Количество слагаемых в разложении всегда ровно $n$. Это существенно меньше $C_{n}^{k}$ и уж тем более $n!$.
Вместо одного определителя $\left[ n\times n \right]$ придётся считать несколько определителей размера на единицу меньше: $\left[ \left( n-1 \right)\times \left( n-1 \right) \right]$.
Последний факт особенно важен. Например, вместо зверского определителя 4x4 теперь достаточно будет посчитать несколько определителей 3x3 — с ними мы уж как-нибудь справимся.:)
Решение. Для разнообразия давайте в этот раз работать со столбцами. Например, в последнем столбце присутствуют сразу два нуля — очевидно, это значительно сократит вычисления. Сейчас увидите почему.
Итак, раскладываем определитель по четвёртому столбцу:
И тут — о, чудо! — два слагаемых сразу улетают коту под хвост, поскольку в них есть множитель «0». Остаётся ещё два определителя 3x3, с которыми мы легко разберёмся:
Ну вот и всё. И никаких 4! = 24 слагаемых считать не пришлось.:)
Ответ: −2
Основные свойства определителя
В последней задаче мы видели, как наличие нулей в строках (столбцах) матрицы резко упрощает разложение определителя и вообще все вычисления. Возникает естественный вопрос: а нельзя ли сделать так, чтобы эти нули появились даже в той матрице, где их изначально не было?
Ответ однозначен: можно. И здесь нам на помощь приходят свойства определителя:
Если поменять две строчки (столбца) местами, определитель поменяет знак;
Если одну строку (столбец) умножить на число $k$, то весь определитель тоже умножится на число $k$;
Если взять одну строку и прибавить (вычесть) её сколько угодно раз из другой, определитель не изменится;
Если две строки определителя одинаковы, либо пропорциональны, либо одна из строк заполнена нулями, то весь определитель равен нулю;
Все указанные выше свойства верны и для столбцов.
При транспонировании матрицы определитель не меняется;
Определитель произведения матриц равен произведению определителей.
Особую ценность представляет третье свойство: мы можем вычитать из одной строки (столбца) другую до тех пор, пока в нужных местах не появятся нули.
Чаще всего расчёты сводится к тому, чтобы «обнулить» весь столбец везде, кроме одного элемента, а затем разложить определитель по этому столбцу, получив матрицу размером на 1 меньше.
Решение. Нулей тут как бы вообще не наблюдается, поэтому можно «долбить» по любой строке или столбцу — объём вычислений будет примерно одинаковым. Давайте не будем мелочиться и «обнулим» первый столбец: в нём уже есть клетка с единицей, поэтому просто возьмём первую строчку и вычтем её 4 раза из второй, 3 раза из третьей и 2 раза из последней.
В результате мы получим новую матрицу, но её определитель будет тем же:
Понятно, что «выживет» только первое слагаемое — в остальных я даже определители не выписывал, поскольку они всё равно умножаются на ноль. Коэффициент перед определителем равен единице, т.е. его можно не записывать.
Зато можно вынести «минусы» из всех трёх строк определителя. По сути, мы трижды вынесли множитель (−1):
Получили мелкий определитель 3x3, который уже можно посчитать по правилу треугольников. Но мы попробуем разложить и его по первому столбцу — благо в последней строчке гордо стоит единица:
Вот так и разбиваются мечты. Всего-то −160 в ответе.:)
Ответ: −160.
Парочка замечаний перед тем, как мы перейдём к последней задаче:
Исходная матрица была симметрична относительно побочной диагонали. Все миноры в разложении тоже симметричны относительно той же побочной диагонали.
Строго говоря, мы могли вообще ничего не раскладывать, а просто привести матрицу к верхнетреугольному виду, когда под главной диагональю стоят сплошные нули. Тогда (в точном соответствии с геометрической интерпретацией, кстати) определитель равен произведению ${{a}_{ii}}$ — чисел на главной диагонали.
Идём дальше. Последняя задача в сегодняшнем уроке.
