Этот урок — первый из серии видео, посвященных интегрированию. В нём мы разберём, что такое первообразная функции, а также изучим элементарные приёмы вычисления этих самых первообразных.
На самом деле здесь нет ничего сложного: по существу всё сводится к понятию производной, с которым вы уже должны знакомы.:)
Сразу отмечу, что, поскольку это самый первый урок в нашей новой теме, сегодня не будет никаких сложных вычислений и формул, но то, что мы изучим сегодня, ляжет в основу гораздо более сложных выкладок и конструкций при вычислении сложных интегралов и площадей.
Кроме того, приступая к изучению интегрирования и интегралов в частности, мы неявно предполагаем, что ученик уже, как минимум, знаком к понятиям производной и имеет хотя бы элементарные навыки их вычисления. Без четкого понимания этого, делать в интегрировании совершенно нечего.
Однако здесь же кроется одна из самых частых и коварных проблем. Дело в том, что, начиная вычислять свои первые первообразные, многие ученики путают их с производными. В результате на экзаменах и самостоятельных работах допускаются глупые и обидные ошибки.
Поэтому сейчас я не буду давать четкого определения первообразной. А взамен предлагаю вам посмотреть, как она считается на простом конкретном примере.
Допустим, нам необходимо посчитать следующую производную:
\[f\left( x \right)={{x}^{3}}\]
Мы знаем такую формулу:
\[{{\left( {{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]
Считается эта производная элементарно:
\[{f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}}\]
Посмотрим внимательно на полученное выражение и выразим ${{x}^{2}}$:
\[{{x}^{2}}=\frac{{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}}{3}\]
Но мы можем записать и так, согласно определению производной:
\[{{x}^{2}}={{\left( \frac{{{x}^{3}}}{3} \right)}^{\prime }}\]
А теперь внимание: то, что мы только что записали и есть определением первообразной. Но, чтобы записать ее правильно, нужно написать следующее:
\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]
Аналогично запишем и такое выражение:
\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]
Если мы обобщим это правило, то сможем вывести такую формулу:
\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]
Теперь мы можем сформулировать четкое определение.
Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.
Казалось бы, довольно простое и понятное определение. Однако, услышав его, у внимательного ученика сразу возникнет несколько вопросов:
На последний вопрос я отвечу сразу. К сожалению, первообразная, в отличие от производной, считается не всегда. Нет такой универсальной формулы, по которой из любой исходной конструкции мы получим функцию, которая будет равна этой сходной конструкции. А что касается степеней и констант — сейчас мы об этом поговорим.
Давайте попробуем посчитать такое выражение:
\[{{x}^{-1}}\to \frac{{{x}^{-1+1}}}{-1+1}=\frac{1}{0}\]
Как видим, данная формула для ${{x}^{-1}}$ не работает. Возникает вопрос: а что тогда работает? Неужели мы не можем посчитать ${{x}^{-1}}$? Конечно, можем. Только давайте для начала вспомним такое:
\[{{x}^{-1}}=\frac{1}{x}\]
Теперь подумаем: производная какой функции равна $\frac{1}{x}$. Очевидно, что любой ученик, который хоть немного занимался этой темой, вспомнит, что этому выражению равна производная натурального логарифма:
\[{{\left( \ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}\]
Поэтому мы с уверенностью можем записать следующее:
\[\frac{1}{x}={{x}^{-1}}\to \ln x\]
Эту формулу нужно знать, точно так же, как и производную степенной функции.
Итак, что нам известно на данный момент:
Идем далее. Что нам еще может потребоваться? Конечно же, правило вычисления первообразных от суммы и от разности. Запишем так:
\[f\left( x \right)\to F\left( x \right)\]
\[g\left( x \right)\to G\left( x \right)\]
\[f+g\to F+G\]
\[f-g=F-G\]
\[c\cdot f\to c\cdot F\left( c=const \right)\]
А если простейшие функции мы начнем умножать и делить, как тогда посчитать первообразную произведения или частного. К сожалению, аналогии с производной произведения или частного здесь не работают. Какой-либо стандартной формулы не существует. Для некоторых случаев существуют хитрые специальные формулы — с ними мы познакомимся на будущих видеоуроках.
Однако запомните: общей формулы, аналогичной формуле для вычисления производной частного и произведения, не существует.
\[f\left( x \right)={{x}^{2}}+5{{x}^{4}}\]
Давайте каждую из степенных функций посчитаем отдельно:
\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]
\[5{{x}^{4}}\to 5\cdot \frac{{{x}^{5}}}{5}={{x}^{5}}\]
Возвращаясь к нашему выражению, мы запишем общую конструкцию:
\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{5}}\]
\[f\left( x \right)=\frac{x+1}{x}\]
Как я уже говорил, первообразные произведений и частного «напролом» не считаются. Однако здесь можно поступить следующим образом:
\[f\left( x \right)=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}\]
Мы разбили дробь на сумму двух дробей.
Посчитаем:
\[F\left( x \right)=1\cdot x+\ln x\]
\[F\left( x \right)=x+\ln x\]
Хорошая новость состоит в том, что зная формулы вычисления первообразных, вы уже способны считать более сложные конструкции. Однако давайте пойдем дальше и расширим наши знания еще чуть-чуть. Дело в том, что многие конструкции и выражения, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к ${{x}^{n}}$, могут быть представлены в виде степени с рациональным показателем, а именно:
\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\]
\[\sqrt[n]{x}={{x}^{\frac{1}{n}}}\]
\[\frac{1}{{{x}^{n}}}={{x}^{-n}}\]
Все эти приемы можно и нужно комбинировать. Степенные выражения можно
\[f\left( x \right)=7\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}\]
Посчитаем каждый корень отдельно:
\[\]
\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]
\[\sqrt[4]{x}={{x}^{\frac{1}{4}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{4}}}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{{{x}^{\frac{5}{4}}}}{\frac{5}{4}}=\frac{4\cdot {{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]
Итого всю нашу конструкцию можно записать следующим образом:
\[F\left( x \right)=7\cdot \frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}+\frac{5\cdot {{x}^{\frac{5}{4}}}}{4}=\frac{14\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}+\frac{4\cdot {{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]
\[f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{{{x}^{3}}}\]
Запишем:
\[\frac{1}{\sqrt{x}}={{\left( \sqrt{x} \right)}^{-1}}={{\left( {{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{-1}}={{x}^{-\frac{1}{2}}}\]
Следовательно, мы получим:
\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{-\frac{1}{2}+1}}}{-\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2}}=2{{x}^{\frac{1}{2}}}=2\sqrt{x}\]
\[\frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-3+1}}}{-3+1}=\frac{{{x}^{-2}}}{-2}=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}\]
Итого, собирая все в одно выражение, можно записать:
\[F\left( x \right)=2\sqrt{x}+\frac{1}{2{{x}^{2}}}\]
\[f\left( x \right)=\sqrt[4]{x}-x\sqrt{x}+1\]
Для начала заметим, что $\sqrt[4]{x}$ мы уже считали:
\[\sqrt[4]{x}\to \frac{4{{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]
\[x\sqrt{x}={{x}^{1}}\cdot {{x}^{\frac{1}{2}}}={{x}^{\frac{3}{2}}}\]
\[{{x}^{\frac{3}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{3}{2}+1}}}{\frac{3}{2}+1}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{5}{2}}}}{5}\]
\[1\to x\]
Перепишем:
\[F\left( x \right)=\frac{4{{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}-\frac{2{{x}^{\frac{5}{2}}}}{5}+x\]
Надеюсь, я никого не удивлю, если скажу, что то, что мы только что изучали — это лишь самые простые вычисления первообразных, самые элементарные конструкции. Давайте сейчас рассмотрим чуть более сложные примеры, в которых помимо табличных первообразных еще потребуется вспомнить школьную программу, а именно, формулы сокращенного умножения.
\[f\left( x \right)={{\left( \sqrt[3]{x}-2 \right)}^{2}}\]
Вспомним формулу квадрата разности:
\[{{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\]
Давайте перепишем нашу функцию:
\[f\left( x \right)=\left( \sqrt[3]{x} \right)-2\cdot \sqrt[3]{x}\cdot 2+4\]
\[f\left( x \right)={{x}^{\frac{2}{3}}}-4{{x}^{\frac{1}{3}}}+4\]
Первообразную такой функции нам сейчас предстоит найти:
\[{{x}^{\frac{2}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{5}{3}}}}{5}\]
\[{{x}^{\frac{1}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{4}{3}}}}{4}\]
\[4\to 4x\]
Собираем все в общую конструкцию:
\[F\left( x \right)=\frac{3{{x}^{\frac{5}{3}}}}{5}-3{{x}^{\frac{4}{3}}}+4x\]
\[f\left( x \right)={{\left( \frac{1}{x}-2 \right)}^{3}}\]
В этом случае нам нужно раскрыть куб разности. Вспомним:
\[{{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}\cdot b+3a\cdot {{b}^{2}}-{{b}^{3}}\]
С учетом этого факта можно записать так:
\[f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{3}}}-3\cdot \frac{1}{{{x}^{2}}}\cdot 2+3\cdot \frac{1}{x}\cdot 4-8\]
Давайте немного преобразуем нашу функцию:
\[f\left( x \right)={{x}^{-3}}-6{{x}^{-2}}+12\cdot {{x}^{-1}}-8\]
Считаем как всегда — по каждому слагаемому отдельно:
\[{{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-2}}}{-2}\]
\[{{x}^{-2}}\to \frac{{{x}^{-1}}}{-1}\]
\[{{x}^{-1}}\to \ln x\]
\[8\to 8x\]
Запишем полученную конструкцию:
\[F\left( x \right)=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}+\frac{6}{x}+12\ln x-8x\]
\[f\left( x \right)=\frac{{{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}\]
Сверху у нас стоит квадрат суммы, давайте его раскроем:
\[\frac{{{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\frac{{{x}^{2}}+2x\cdot \sqrt{x}+{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\]
\[=\frac{{{x}^{2}}}{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{x}+\frac{x}{x}=x+2{{x}^{\frac{1}{2}}}+1\]
Далее все легко:
\[x\to \frac{{{x}^{2}}}{2}\]
\[{{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]
\[1\to x\]
Давайте напишем итоговое решение:
\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{x}+\frac{4{{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}+x\]
А теперь внимание! Очень важная вещь, с которой связана львиная доля ошибок и недопониманий. Дело в том, что до сих пор считая первообразные с помощью производных, приводя преобразования, мы не задумывались о том, чему равна производная константы. А ведь производная константы равна «нулю». А это означает, что можно записать такие варианты:
Вот это очень важно понимать: если производная функции всегда одна и та же, то первообразных у одной и той же функции бесконечно много. Просто к нашим первообразным мы можем дописывать любые числа-константы и получать новые.
Неслучайно, в пояснении к тем задачам, которые мы только что решали, было написано «Запишите общий вид первообразных». Т.е. уже заранее предполагается, что их не одна, а целое множество. Но, на самом деле, они отличаются лишь константой $C$ в конце. Потому в наших задачах мы исправим то, что мы не дописали.
Еще раз переписываем наши конструкции:
\[F\left( x \right)=\frac{3{{x}^{\frac{5}{3}}}}{5}-3{{x}^{\frac{4}{3}}}+4x+C\]
В таких случаях следует дописывать, что $C$ — константа — $C=const$.
Во второй нашей функции мы получим следующую конструкцию:
\[F\left( x \right)=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}+\frac{6}{x}+12\ln x+C\]
И последняя:
\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{4{{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}+x+C\]
И вот теперь мы действительно получили то, что от нас требовалось в исходном условии задачи.
Сейчас, когда мы знаем о константах и об особенностях записи первообразных, вполне логично возникает следующий тип задач, когда из множества всех первообразных требуется найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку. В чем состоит эта задача?
Дело в том, что все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдет одна первообразная, и, причем, только одна.
Итак, задачи, которые сейчас мы будем решать, сформулированы следующем образом: не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.
\[f\left( x \right)=5{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-2x+6\]
\[M=\left( -1;4 \right)\]
Для начала просто посчитаем каждое слагаемое:
\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]
\[{{x}^{3}}\to \frac{{{x}^{4}}}{4}\]
\[x\to \frac{{{x}^{2}}}{2}\]
\[6\to 6x\]
Теперь подставляем эти выражения в нашу конструкцию:
\[F\left( x \right)=5\cdot \frac{{{x}^{5}}}{5}+6\cdot \frac{{{x}^{4}}}{4}-2\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}+6x+C\]
\[F\left( x \right)={{x}^{5}}+\frac{3{{x}^{4}}}{2}-{{x}^{2}}+6x+C\]
Эта функция должна проходить через точку $M\left( -1;4 \right)$. Что значит, что она проходит через точку? Это значит, что если вместо $x$ поставить везде $-1$, а вместо $F\left( x \right)$ — $-4$, то мы должны получить верное числовое равенство. Давайте так и сделаем:
\[4={{\left( -1 \right)}^{5}}+\frac{3\cdot {{\left( -1 \right)}^{4}}}{2}-{{\left( -1 \right)}^{2}}+6\cdot \left( -1 \right)+C\]
Мы видим, что у нас получилось уравнение относительно $C$, поэтому давайте попробуем его решить:
\[4=-1+\frac{3}{2}-1-6+C\]
\[C=4+6+2-\frac{3}{2}=10,5\]
Давайте запишем то самое решение, которое мы искали:
\[F\left( x \right)={{x}^{5}}+\frac{3{{x}^{4}}}{2}-{{x}^{2}}+6x+10,5\]
\[f\left( x \right)={{\left( x-3 \right)}^{2}}\]
\[M=\left( 2;-1 \right)\]
В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращенного умножения:
\[f\left( x \right)={{x}^{2}}-6x+9\]
Считаем:
\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]
\[x\to \frac{{{x}^{2}}}{2}\]
\[9\to 9x\]
Исходная конструкция запишется следующим образом:
\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-6\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}+9x+C\]
\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-3{{x}^{2}}+9x+C\]
Теперь давайте найдем $C$: подставим координаты точки $M$:
\[-1=\frac{8}{3}-12+18+C\]
Выражаем $C$:
\[C=-1-6-2\frac{2}{3}=-9\frac{2}{3}\]
Осталось отобразить итоговое выражение:
\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-3{{x}^{2}}+9x-9\frac{2}{3}\]
В качестве финального аккорда к тому, что мы только что разобрали, предлагаю рассмотреть две более сложные задачи, в которых содержится тригонометрия. В них точно так же потребуется найти первообразные для всех функций, затем выбрать из этого множества одну-единственную, которая проходит через точку $M$ на координатной плоскости.
Забегая наперед, хотел бы отметить, что тот прием, который мы сейчас будем использовать для нахождения первообразных от тригонометрических функций, на самом деле, является универсальным приемом для самопроверки.
\[f\left( x \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]
\[M=\left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}};-1 \right)\]
Вспомним следующую формулу:
\[{{\left( \text{tg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]
Исходя из этого, мы можем записать:
\[F\left( x \right)=\text{tg}x+C\]
Давайте подставим координаты точки $M$ в наше выражение:
\[-1=\text{tg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+C\]
\[-1=1+C\]
\[C=-2\]
Перепишем выражение с учетом этого факта:
\[F\left( x \right)=\text{tg}x-2\]
\[f\left( x \right)=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]
\[M=\left( -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}};2 \right)\]
Тут будет чуть сложнее. Сейчас увидите, почему.
Вспомним такую формулу:
\[{{\left( \text{ctg}x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]
Чтобы избавится от «минуса», необходимо сделать следующее:
\[{{\left( -\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]
Вот наша конструкция
\[F\left( x \right)=-\text{ctg}x+C\]
Подставим координаты точки $M$:
\[2=-\text{ctg}\left( -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)+C\]
\[2=\text{ctg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+C\]
\[2=1+C\]
\[C=1\]
Итого запишем окончательную конструкцию:
\[F\left( x \right)=-\text{ctg}x+1\]
Вот и все, о чем я хотел сегодня вам рассказать. Мы изучили сам термин первообразных, как считать их от элементарных функций, а также как находить первообразную, проходящую через конкретную точку на координатной плоскости.
Надеюсь, этот урок хоть немного поможет вам разобраться в этой сложной теме. В любом случае, именно на первообразных строятся неопределенные и неопределенные интегралы, поэтому считать их совершенно необходимо. На этом у меня все. До новых встреч!
