Что такое интегрирование по частям? Чтобы освоить этот вид интегрирования, давайте для начала вспомним производную произведения:
${{\left( f\cdot g \right)}^{\prime }}={f}'\cdot g+f\cdot {g}'$
Спрашивается: ну и при чем тут интегралы? А давайте теперь проинтегрируем обе стороны этого уравнения. Так и запишем:
$\int{{{\left( f\cdot g \right)}^{\prime }}\text{d}x=}\int{{f}'\cdot g\,\text{d}x+\int{f\cdot {g}'\,\text{d}x}}$
Но что такое первообразная от штриха? Это просто сама функция, которая стоит внутри штриха. Так и запишем:
$f\cdot g=\int{{f}'\cdot g\,\text{d}x+\int{f\cdot {g}'\,\text{d}x}}$
В данном уравнении предлагаю выразить слагаемое. Имеем:
$\int{{f}'\cdot g\,\text{d}x=f\cdot g-\int{f\cdot {g}'\,\text{d}x}}$
Это и есть формула интегрирования по частям. Таким образом, мы, по сути, меняем местами производную и функцию. Если изначально у нас был интеграл от штриха, умноженной на что-либо, то затем получается интеграл от нового чего-либо, умноженной на штрих. Вот и все правило. На первый взгляд данная формула может показаться сложной и бессмысленной, но, на самом деле, она может значительно упрощать вычисления. Сейчас посмотрим.
Задача 1. Вычислите:
\[\int{\ln x\,\text{d}x}\]\[\]
Перепишем выражение, добавив перед логарифмом 1:
\[\int{\ln x\,\text{d}x}=\int{1\cdot \ln x\,\text{d}x}\]
Мы имеем право сделать это, потому что ни число, ни функция не изменятся. Теперь сравним это выражение с тем, что у нас написано в формуле. В роли ${f}'$ выступает 1, так и запишем:
$\begin{align}& {f}'=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow {g}'=\frac{1}{x} \\\end{align}$
Все эти функции есть в таблицах. Теперь, когда мы расписали все элементы, которые входят в наше выражение, перепишем данный интеграл по формуле интегрирования по частям:
\[\begin{align}& \int{1\cdot \ln x\,\text{d}x}=x\ln x-\int{x\cdot \frac{1}{x}\text{d}x}=x\ln x-\int{\text{d}x}= \\& =x\ln x-x+C=x\left( \ln x-1 \right)+C \\\end{align}\]
Все, интеграл найден.
Задача 2. Вычислите:
$\int{x{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x=\int{x\cdot {{e}^{-x}}\,\text{d}x}}$
Если в роли производной, от которой нам нужно будет сейчас найти первообразную, мы возьмем $x$, то получим${{x}^{2}}$, и итоговое выражение будет содержать ${{x}^{2}}{{\text{e}}^{-x}}$.
Очевидно, задача не упрощается, поэтому мы поменяем местами множители под знаком интеграла:
$\int{x\cdot {{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=\int{{{\text{e}}^{-x}}\cdot x\,\text{d}x}$
А вот теперь вводим обозначения:
${f}'={{\text{e}}^{-x}}\Rightarrow f=\int{{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=-{{\text{e}}^{-x}}$
Дифференцируем ${{\text{e}}^{-x}}$:
${{\left( {{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }}={{\text{e}}^{-x}}\cdot {{\left( -x \right)}^{\prime }}=-{{\text{e}}^{-x}}$
Другими словами, сначала добавляется «минус», а затем обе стороны интегрируются:
\[\begin{align}& {{\left( {{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }}=-{{\text{e}}^{-x}}\Rightarrow {{\text{e}}^{-x}}=-{{\left( {{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }} \\& \int{{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=-\int{{{\left( {{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }}\text{d}x}=-{{\text{e}}^{-x}}+C \\\end{align}\]
Теперь разберёмся с функцией$g$:
$g=x\Rightarrow {g}'=1$
Считаем интеграл:
$\begin{align}& \int{{{\text{e}}^{-x}}\cdot x\,\text{d}x}=x\cdot \left( -{{\text{e}}^{-x}} \right)-\int{\left( -{{\text{e}}^{-x}} \right)\cdot 1\cdot \text{d}x}= \\& =-x{{\text{e}}^{-x}}+\int{{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=-x{{\text{e}}^{-x}}-{{\text{e}}^{-x}}+C=-{{\text{e}}^{-x}}\left( x+1 \right)+C \\\end{align}$
Итак, мы выполнили второе интегрирование по частям.
Задача 3. Вычислите:
$\int{x\cos 3x\,\text{d}x}$
Что в этом случае брать за${f}'$ , а что за$g$? Если в роли производной будет выступать$x$ , то при интегрировании возникнет$\frac{{{x}^{2}}}{2}$, и никуда у нас первый множитель не пропадет — будет $\frac{{{x}^{2}}}{2}\cdot \cos 3x$. Поэтому опять поменяем множители местами:
$\begin{align}& \int{x\cos 3x\,\text{d}x}=\int{\cos 3x\cdot x\,\text{d}x} \\& {f}'=\cos 3x\Rightarrow f=\int{\cos 3x\,\text{d}x}=\frac{\sin 3x}{3} \\& g=x\Rightarrow {g}'=1 \\\end{align}$
Переписываем наше исходное выражение и раскладываем его по формуле интегрирования по частям:
\[\begin{align}& \int{\cos 3x\cdot x\ \text{d}x}=\frac{\sin 3x}{3}\cdot x-\int{\frac{\sin 3x}{3}\text{d}x}= \\& =\frac{x\sin 3x}{3}-\frac{1}{3}\int{\sin 3x\,\text{d}x}=\frac{x\sin 3x}{3}+\frac{\cos 3x}{9}+C \\\end{align}\]
Все, третья задача решена.
В заключение еще раз взглянем на формулу интегрирования по частям. Как мы выбираем, какой из множителей будет производной, а какой будет настоящей функцией? Критерий здесь всего один: элемент, который мы будем дифференцировать, должен давать либо «красивое» выражение, которое потом сократится, либо при дифференцировании вообще исчезать. На этом урок закончен.
