Многоугольники на координатной сетке — это самые простые задачи B5. Существует сразу несколько методов решения таких задачи, в том числе универсальный, описанный ниже. Для начала определимся с терминологией:
Многоугольник — фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.
Большинство многоугольников, встречающихся в ЕГЭ, являются выпуклыми, т.е. не имеют внутренних углов размером больше 180°, а все вершины многоугольника лежат в узлах координатной сетки. Кроме того, ломаная, ограничивающая многоугольник, не имеет самопересечений. Все это значительно упрощает задачу.
Для решения всех задач этого типа достаточно выполнить четыре простых шага:
Описать вокруг многоугольника прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат (линиям сетки). При этом желательно, чтобы на каждой стороне прямоугольника присутствовала хотя бы одна вершина исходной фигуры;
Разбить внутреннее пространство прямоугольника, не занятое исходной фигурой, на квадраты и треугольники. Лучше, если все линии разбиения будут параллельны осям координат;
Найти площадь каждого элемента разбиения. Сложив эти площади, получим площадь всего разбиения;
Наконец, из площади прямоугольника вычесть площадь разбиения — это и будет площадью исходной фигуры.
Несмотря на большое количество элементов разбиения, вычисление его площади — достаточно тривиальная задача.
Проиллюстрируем каждый шаг решения:
Последним шагом найдем площадь исходной фигуры: Sисх = S − (S1 + S2 + S3 + S4 + S5),где S — площадь описанного прямоугольника. Осталось вычислить площадь большого прямоугольника и элементов разбиения. Эти несложные расчеты предлагается выполнить читателю в качестве упражнения.
Задача. Найти площадь треугольника ABC, изображенного на рисунке:
Обозначение треугольника можно опустить, поскольку оно нам не потребуется. Приведем первые три шага:
Итак, Sисх = S − (S1 + S2 + S3),где S — площадь описанного прямоугольника. Найдем площадь элементов разбиения:
