Пример решения задачи 15

26 декабря 2012

Сегодня мы рассмотрим решение задачи 15 из официального пробного ЕГЭ по математике. И вообще, до конца учебного года мы сосредоточимся на задачах части C. Потому что далеко не каждый репетитор по математике (и уж тем более школьный учитель) умеют решать эти задачи. Особенно №18 и №19. Постепенно мы доберемся и до них.

А пока — задача 15:

Задача. Решите систему неравенств:

[Подпись к рисунку]

Как видим, в задаче присутствует и показательное, и логарифмическое неравенство. Предлагаю начать решение именно с логарифмического неравенства. Потому что такие неравенства вызывают больше всего трудностей у учеников. Итак, поехали!

Как решать логарифмическое неравенство

Давайте выпишем это неравенство еще раз:

Логарифмическое неравенство в задаче C3 — [Подпись к рисунку]

Как решается такое неравенство? Прежде всего, давайте запишем основную формулу, по которой решаются все логарифмические неравенства:

log_k(x) f (x) ∨ log_k(x) g(x) ⇒ (f (x) − g(x))·(k(x) − 1) ∨ 0

В итоге мы получаем обычное рациональное (или дробно-рациональное) неравенство, которое решается методом интервалов.

Но как применить эту формулу для решения нашего неравенства? Мы видим, что слева стоит нормальное логарифмическое выражение. А вот справа стоит сумма двух чисел: единицы и логарифма. Следовательно, мы должны избавиться от этой суммы. Например, заменив ее одним логарифмом.

Для начала заменим единицу логарифмом с основанием 3:

1 = log₃ 3¹

Перепишем наше неравенство с учетом этого выражения:

Замена числа логарифмом — [Подпись к рисунку]

Теперь мы видим, что справа стоит сумма логарифмов. Основания у них одинаковые, поэтому можно заменить их одним логарифмом, перемножив аргументы:

При сложении логарифмов их аргументы перемножаются — [Подпись к рисунку]

Таким образом, исходное неравенство сведется к простой конструкции, которую можно преобразовать по формуле для логарифмических неравенств. Имеем:

Переход от логарифмического неравенства к дробно-рациональному — [Подпись к рисунку]

Как видите, в первой скобке мы вычитаем из первого аргумента f (x) = x² − x − 2 второй аргумент g(x), представляющий собой дробно-рациональную функцию. Основание всех логарифмов равно k(x) = 3 — константа, поэтому вторая скобка получилась очень простой: 3 − 1 = 2.

Вот мы и получили вполне адекватное дробно-рациональное неравенство. Но прежде чем решать его, давайте разложим первую скобку на множители. Для этого потребуется разложить на множители квадратный трехчлен:

f (x) = x² − x − 2

Приравниваем эту функцию к нулю:

x² − x − 2 = 0;
D = 1 + 8 = 9;
x₁ = (1 + 3)/2 = 2;
x₂ = (1 − 3)/2 = −1.

Таким образом, функция f (x) может быть записана так:

f (x) = (x − 2)(x + 1)

Потому что любой многочлен вида ax² + bx + c может быть записан в виде:

a·(x − x₁)·(x − x₂)

где x₁, x₂ — корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

Теперь переписываем наше дробно-рациональное неравенство:

Готовое дробно-рациональное неравенство — [Подпись к рисунку]

Можно вынести множитель (x + 1) за скобку. Одновременно разделим все неравенство на 2, чтобы множитель-константа нас не смущал. Получим:

Выносим за скобку линейную функцию — [Подпись к рисунку]

Приводим выражение во второй скобке к общему знаменателю. А затем немного «причешем» это неравенство:

Приводим дробно-рациональное неравенство к каноническому виду — [Подпись к рисунку]

Мы получили три множителя: два сверху и один снизу. Приравниваем каждый из них к нулю:

x + 1 = 0 ⇒ x = −1;
x − 2 = 0 ⇒ x = 2;

Решение квадратного уравнения. Два иррациональных корня — [Подпись к рисунку]

Получили 4 точки. Отметим их на координатной прямой:

Решение неравенства методом интервалов — [Подпись к рисунку]

Чтобы выяснить знаки, подставим в последнее неравенство какое-нибудь большое число. Например, миллиард. Во всех трех скобках получатся положительные числа, поэтому справа стоит знак плюс. На остальных интервалах знаки чередуются (при переходе через каждый отмеченный корень), поскольку корней четной кратности у нас нет.

В исходном неравенстве требовалось найти отрицательные числа, то есть отмеченные знаком минус. Он заштрихованы на рисунке. Запишем полученные значения:

Кандидат на ответ в логарифмическом неравенстве: — [Подпись к рисунку]

Из всех чисел выколота только точка x = 2. Потому что она стояла в знаменателе неравенства. Именно поэтому точка x = 2 обозначена круглой скобкой.

Можно подумать, что мы уже решили логарифмическое неравенство и получили ответ. Однако ни в коем случае нельзя так считать! Полученное множество — это только кандидат на ответ, потому что еще надо учесть ОДЗ логарифма. А именно: аргументы всех логарифмов, входящих в исходное неравенство, должны быть больше нуля. Имеем:

Находим ОДЗ логарифма — [Подпись к рисунку]

Как видим, получились два равносильных неравенства. Другими словами, их решения будут одинаковыми. Поэтому предлагаю решить лишь первое из них — оно наиболее привычно для большинства учеников. Итак, решаем неравенство:

(x + 1)(x − 2) > 0;
x₁ = −1; x₂ = 2.

Отмечаем полученные корни на прямой и расставляем знаки:

Отмечаем ОДЗ логарифма на координатной прямой — [Подпись к рисунку]

Для выяснения знаков снова берем миллиард и подставляем в выражение f (x) = (x + 1)(x − 2). Очевидно, получится плюс.

Дальше знаки везде меняются — опять же, потому что корней четной кратности нигде нет. Нас интересуют значения больше нуля, поэтому на рисунке заштрихованы те области, которые отмечены знаком плюс. Получили два интервала:

x ∈ (−∞ −1) ∪ (2; +∞)

Теперь пересечем множество, которое мы только что получили, с предыдущим множеством, которое является кандидатом на ответ. Сразу видим, что в ОДЗ числа должны быть меньше −1, а в кандидате на ответ — больше −1. Поэтому левый интервал можно смело зачеркнуть.

Разбираемся со вторым интервалом. С одной стороны, нас устроят числа от 2 до +∞. А с другой — от 2 до корня. Отсюда очевидно, что пересечение множеств равно:

Пересечение кандидата на ответ с ОДЗ логарифмического неравенства — [Подпись к рисунку]

Вот теперь мы получили решение логарифмического неравенства. Со строгим обоснование и учетом ОДЗ логарифма. Все, мы решили половину задачи C3.

Показательное неравенство

Переходим ко второй части задачи. Точнее, в нашей системе это неравенство идет первым — оно показательное. Запишем его:

4^x ≤ 9 × 2^x + 22

Прежде чем решать это неравенство, давайте представим элемент 4^x в виде точного квадрата, а затем введем новую переменную. Получим:

(2^x)² ≤ 9 × 2^x + 22;
2^x = t ⇒ t² − 9t − 22 ≤ 0.

На последнем шаге я сразу перенес все элементы влево. Решаем полученное неравенство методом интервалов. Прежде всего, приравниваем левую часть к нулю:

t² − 9t − 22 = 0;
D = 81 + 88 = 169;
t₁ = (9 + 13)/2 = 11;
t₂ = (9 − 13)/2 = −2.

Возвращаемся к неравенству. Отмечаем полученные числа на координатной прямой:

Решение показательного неравенства после замены переменной — [Подпись к рисунку]

Поскольку мы решаем нестрогое неравенство, а корни лежат в числителе (знаменателя просто не существует), все точки закрашены.

Выясняем знаки. Для этого берем любое число больше 11. Например, миллиард. Получаем плюс, и, следовательно, справа от числа 11 все значения положительны. Дальше знаки везде меняются.

Поскольку в исходном неравенстве требовалось выяснить, когда функция меньше нуля, нас интересуют отрезки со знаком минус. Такой отрезок получился всего один:

t ∈ [−2; 11]

Теперь вспоминаем, что такое t:

t = 2^x;
2^x ∈ [−2; 11];
−2 ≤ 2^x ≤ 11.

На последнем шаге мы переписали решение в виде двойного неравенства. Осталось его решить. Когда 2^x больше −2? Разумеется, всегда, поскольку степени двойки всегда положительны. Таким образом, двойное неравенство свелось к одинарному:

переход от переменной t к исходному показательному неравенству — [Подпись к рисунку]

Вот мы и решили вторую часть задачи C3 — показательное неравенство. Осталось совсем чуть-чуть — пересечь решения неравенств. И мы получим окончательный ответ.

Пересечение решений

Итак, основная часть задачи C3 решена. Поскольку в исходном условии нам требовалось найти пересечение решений (знак системы), выполним последний шаг. Найдем это пересечение. Для начала предлагаю еще раз записать полученные множества:

Решения показательного и логарифмического неравенства, которые надо пересечь — [Подпись к рисунку]

Отметим эти множества на параллельных прямых:

Пересечение множеств на параллельных координатных прямых — [Подпись к рисунку]

Единственный момент, который требует обоснования — это расположение логарифма. Почему он стоит левее корня? Почему он меньше? Да потому что между этими выражениями лежит число 3,5. Взгляните:

Сравнение корня с числом 3,5 — [Подпись к рисунку]

Очевидно, что 3 > 2,25. Поэтому вместо галки можно смело записать знак «больше». С дрогой стороны, логарифм тоже можно сравнить с числом 3,5:

Сравнение логарифма с числом 3,5 — [Подпись к рисунку]

Очевидно, что 121 < 128. Поэтому вместо галки можно смело записать знак «меньше». Получаем двойное неравенство:

Число 3,5 разделяет логарифм и корень — [Подпись к рисунку]

Таким образом, числа отмечены правильно. Осталось пересечь эти множества, т.е. найти области, заштрихованные сразу на обеих осях. Такая область всего одна:

Получен ответ в задаче C3 — [Подпись к рисунку]

Это и есть ответ. Вот и все! Задача C3 решена.

В заключение хотел бы еще раз обратить ваше внимание на последний шаг. В настоящем ЕГЭ по математике вы обязаны привести обоснование, почему логарифм меньше корня. Об этом вам скажет любой репетитор по математике. В противном случае с вас снимут один балл. И будет очень обидно, когда решение в целом правильное, но из-за маленькой недоработки вы лишаетесь целого балла. Будьте внимательны.

Смотрите также: