Задача B8: отрезки и углы в треугольниках

14 февраля 2012

Сегодня мы рассмотрим основные теоремы, необходимые для решения задачи B8. Все они относятся к многоугольникам. Статья получилась длинной, но очень полезной.

Сразу отмечу, что речь идет о задачах без тригонометрии. Тригонометрические задачи были подробно разобраны ранее — см. «Задача B8: геометрия с элементами тригонометрии». Итак, поехали!

Углы в треугольнике и четырехугольнике

Первый и, пожалуй, самый важный факт:

В треугольнике сумма углов равна 180°;
А в четырехугольнике — 360°.

Эти равенства хорошо работают в тех случаях, когда известны все углы, кроме одного. Как правило, именно этот недостающий угол и требуется найти.

Несмотря на внешнюю простоту, таких задач много. Их постоянно дают на пробниках, и в настоящем ЕГЭ они тоже будут.

В треугольнике ABC угол C равен 45°, AD — биссектриса, угол CAD равен 30°. Найдите угол B.

Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку AD — биссектриса, углы BAD и CAD равны: BAD = CAD = 30°. С другой стороны, угол BAC = BAD + CAD = 30° + 30° = 60°. Но сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому имеем:

A + B + C = 180;
60 + B + 45 = 180;
B = 75.

Это и есть искомый угол.

Высоты BD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O. Найдите угол DOE, если угол A равен 72°.

Рассмотрим четырехугольник ADOE. По условию, угол A равен 72°. Кроме того, поскольку BD и CE — высоты, углы ADO и AEO — прямые: ADO = AEO = 90°. Сумма углов четырехугольника равна 360°, поэтому:

A + ADO + DOE + AEO = 360;
72 + 90 + DOE + 90 = 360;
DOE = 108.

Параллельные прямые и смежные углы

Эта тема тоже постоянно «всплывает» в задачах B8. Смежные углы обычно возникают в задачах с треугольниками, а параллельные прямые — в параллелограммах (кэп?). Итак, что надо знать:

Сумма смежных углов равна 180°;
Соответственные и накрест лежащие углы при параллельных прямых равны;
Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна 180°.

Задача. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25° и 35°. Найдите больший угол параллелограмма.

Обозначим параллелограмм за ABCD, причем AC — та самая диагональ. Предположим, угол CAD равен 35°, а угол DCA равен 25°. Имеем:

Заметим, что углы BAC и DCA равны: BAC = DCA = 25°. Ведь это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.

Кроме того, угол BAD = BAC + CAD = 25° + 35° = 60°. Обозначим неизвестный угол D = x. Поскольку ABCD — параллелограмм, имеем:

B = D = x;
BCD = BAD = 60.

Но сумма углов четырехугольника равна 360°, поэтому:

BAD + B + BCD + D = 360;
60 + x + 60 + x = 360;
2x + 120 = 360;
2x = 240;
x = 120.

Получается, что углы B и D равны 120°, а углы BAD и BCD — 60°. Требуется найти больший угол — это угол B. Поэтому ответ — 120 градусов.

Равнобедренный треугольник

Думаю, уж эту-то теорему знают все. А именно:

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Помните, что в реальных задачах равнобедренный треугольник совсем необязательно выглядит так же красиво. Основание может оказаться сбоку и даже сверху. Взгляните на примеры — и сами все поймете.

В треугольнике ABC стороны AC = BC, угол C равен 40°. Найдите внешний угол DBC.

Ну, здесь все тривиально. Поскольку углы ABC и DBC — смежные, достаточно найти угол ABC. Тогда сразу найдем и угол DBC.

По условию, треугольник ABC — равнобедренный: AC = BC. Следовательно, углы при основании равны: A = ABC = x. Но сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

A + ABC + C = 180;
x + x + 40 = 180;
2x = 140;
x = 70.

Итак, угол ABC равен 70°. Теперь вспоминаем, что углы ABC и DBC — смежные, поэтому их сумма равна 180°. Имеем:

ABC + DBC = 180;
70 + DBC = 180;
DBC = 110.

Вот и все — задача решена!

В треугольнике ABC угол A равен 48°, а угол C равен 56°. На продолжении стороны AB за точку B отмечена точка D, причем BD = BC. Найдите угол D треугольника BCD.

Для начала рассмотрим треугольник BCD. В нем BD = BC, поэтому углы D и BCD равны. Как видим, основание треугольника вовсе не горизонтально, однако это не должно нас смущать.

Обозначим величину этих углов за x: D = BCD = x. Заметим, что угол ACD = ACB + DCB = 56 + x. Осталось рассмотреть большой треугольник ADC. В нем сумма углов равна 180°, поэтому:

A + D + ACD = 180;
48 + x + 56 + x = 180;
2x + 104 = 180;
2x = 76;
x = 38.

Итак, угол D = x = 38, что и требовалось найти.

На сегодня, пожалуй, все. И так уже слишком много букв :)

Смотрите также: