Сегодня мы разберем всего одну задачу, но решение у нее будет довольно длинным. Это задача B2 на сложные проценты — такая вполне может встретиться на настоящем ЕГЭ по математике, поэтому уметь решать ее совершенно необходимо.
В этом уроке мы начинаем изучать сложные задачи на проценты и решать их будем с помощью метода коэффициентов. Поясню суть этого метода. Для начала давайте вспомним формулу простого процента.
Пусть х — начальное значение нашей величины, k — проценты, на которые увеличивается или уменьшается наша величина, а y — итоговое значение величины, полученное после уменьшения или увеличения величины х на k%. Тогда все три величины связаны следующей формулой:
Плюс и или минус перед k ставится в зависимости от того, уменьшается или увеличивается исходная величина х. А теперь давайте раскроем дробь, получим следующее выражение:
Вот именно от этого множителя 1 ± k/100 и произошло название метода коэффициентов. Смотрите: если исходная величина х увеличивается, скажем, на 10%, то для того, чтобы получить итоговое значение величины, нужно умножить х на величину (1 + 10%), т. е. согласно наше формуле 1+ 0,1 = 1,1. Аналогично, если бы исходная величина х уменьшалась, скажем, на 30%, то для получения итогового значения нам нужно провести следующие операции:
1 − 30% = 1 − 0,3 = 0,7
Давайте посмотрим, как эта теория работает на практике. Итак, задача:
Задача B2. В школе 720 учеников, из них 25% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 30% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?
Как решать такую задачу? В первую очередь, чтобы найти количество учеников, изучающих немецкий язык, нужно из общего количества, т.е. 720 учеников, вычесть 25%, которые точно не изучают немецкий язык, потому что по условию задачи ученики начальных классов его не изучают точно. Другими словами, х = 720. Из этой величины с помощью метода коэффициентов получаем величину y1:
y1 = 720 · (1 − 0,25) = 720 · 0,75
Идем дальше. По условию из учеников средней и старшей школы, т. е. из того количества, которое мы только что нашли, только 30% изучают немецкий язык. Теперь давайте посчитаем второе значение — y2. Нам нужно найти 30% от полученного числа:
y2 = 720 · 0,75 · 0,3
Давайте переведем все десятичные дроби в обычные и посчитаем:
Вот мы и нашли 30% от тех учеников, которые учатся в средней или старшей школе. Именно столько людей изучают немецкий язык. Все, задача решена. Ответ — 162.
Единственный вопрос, который может возникнуть у учеников, относится вот к этому моменту:
1 − 30% = 1 − 0,3 = 0,7
Почему здесь при уменьшении на 30% мы вычитаем из единицы 0,3, а при решении задачи просто умножаем на 0,3? Все дело в условии задачи. Там написано, что среди учеников средней и старшей школы 30% изучают немецкий язык, т. е. нужно уменьшать не на 30%, а на 70%, чтобы получить 30%. Давайте посмотрим:
1 − 70% = 1 − 0,7 = 0,3
Таким образом, коэффициент 0,3 участвует в умножении совершенно обосновано.
Если нужно вычесть 30%, умножаем исходное число на 1 − 0,3 = 0,7. Если нужно добавить 30%, умножаем на 1 + 0,3 = 1,3. А если нужно просто найти 30% от исходного числа, умножаем на 0,3. Вот и все, что нужно знать о процентах.
Можно объяснить метод коэффициентов и несколько иначе. Если какая-то величина х, например, уменьшается на 20%, то новое значение этой величины равно:
y = х · (1 – 0,2)
А вот если нам дана некая величина х, от которой нужно найти 30% или 20%, то нам нужно просто умножить эту величину х на 0,3 или на 0,2, т. е. на проценты, деленные на 100.
Вот и вся суть метода коэффициентов. Надеюсь, этот урок будет полезен тем, кто учится решать сложные задачи на проценты и готовится к ЕГЭ по математике. А у меня на этом все. С вами был Павел Бердов. До новых встреч!
