Предлагаю вашему вниманию решение настоящего варианта ЕГЭ-2011 по математике, который сдавали 6 июня. Здесь представлена только часть B — часть C будет разобрана отдельно. Изначально я хотел опубликовать их вместе, но информации оказалось так много, что лучше разбить ее на «порции».
По словам моих учеников, самыми тяжелыми оказались задачи B4, B9 и B12. Напротив, задачи B7 и B11, которые традиционно считаются сложными, решались без проблем. Задача B5, в которой надо много считать, вообще не вызвала ни у кого затруднений.
Задача. Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 68 км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км)
Пусть спидометр показывает скорость x миль/ч. Имеем:
1 миля/ч — это 1,6 км/ч
x миль/ч — это 68 км/ч
Составим пропорцию:
Задача. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Элисте с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, какого числа выпало ровно 1,5 мм осадков.
![]()
Если провести горизонтальную прямую на уровне 1,5 мм, то найдется ровно одна точка, лежащая на этой прямой. Эта точка — 15 декабря.
Задача. Решите уравнение:
![]()
Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:
60 − 3x = 36 ⇒ −3x = −24 ⇒ x = 8
Проверять корень на ОДЗ здесь не требуется, поскольку в уравнении присутствует лишь один радикал, и за его пределами переменных нет.
Задача. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Угол C равен 62°, угол CAD равен 32°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
![]()
Поскольку AD — биссектриса,
Тогда
Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, имеем:
Задача. Строительной фирме надо приобрести 50 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.
Поставщик Стоимость
пенобетона(руб. за 1 м2) Стоимость
доставки
в рубляхДополнительные
условияА 3500 9900 (нет) Б 4500 7000 При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно В 3600 7900 При заказе на сумму больше 200 000 руб. доставка бесплатно
Найдем стоимость покупки для каждого поставщика.
Поставщик A:
Поставщик Б:
Поставщик В:
Минимальная цена — у первого поставщика. 184 900 рублей.
Задача. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
![]()
Обведем треугольник в квадрат так, как показано на рисунке:
Площадь большого квадрата:
Площадь верхнего треугольника:
Площадь нижнего треугольника:
Искомая площадь:
Конечно, можно найти площадь намного проще, без вписывания треугольника в квадрат, но такой подход не универсален. Зато предложенный выше — универсален и работает для всех выпуклых фигур.
Задача. Найдите cos α, если известно следующее:
![]()
Поскольку α ∈ (0; π/2), это первая координатная четверть, где все синусы и косинусы положительны.
Основное тригонометрическое тождество:
Мы взяли положительный корень, потому что косинус в первой координатной четверти положителен.
Задача. На рисунке изображен график функции f(x) и касательная к этому графику
в точке x0. Найдите значение производной этой функциив точке x0. ![]()
Рассмотрим две точки: A = (−5; −6) и B = (0; −3);
Эти точки лежат на касательной. Дальше все просто:
Δx = 0 − (−5) = 5;
Δy = −3 − (−6) = 3;
D = Δy/Δx = 3/5 = 0,6.
Задача. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 64 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого?
Основная формула:
Поскольку объем не меняется,
Итак, по оси Z размер уменьшится в 16 раз. Изначально он был равен 64. Получаем:
Задача. В ходе распада радиоактивного вещества изотопа его масса уменьшается по закону:
![]()
где m0 — начальная масса изотопа,
t (мин.) — время, прошедшее от начального момента,T (мин) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопаm0 = 400 мг. Период его полураспадаT = 5 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 25 мг?
Это задача с функцией. Известны следующие величины:
m0 = 400; T = 5; m(t) = 25.
Подставляем — получаем обычное показательное уравнение:
Задача. Найдите наибольшее значение функции
y = x3 + 7x2 + 8x − 8 на отрезке [−6; −3].
Для начала найдем производную:
Найдем нули производной:
Поскольку корень x = −2/3 не лежит на отрезке [−6; −3], нас интересует только
Итак, у нас есть три точки: −6; −4; −3. Первые две являются концами отрезка, последняя — нулем производной и, следовательно, кандидатом на экстремум. Вычислим значение функции в каждой из них:
y(−6) = −20; y(−3) = 4; y(−4) = 8;
Требуется выбрать наибольшее — это число 8.
Задача. Лодка в 9:00 вышла из пункта А в пункт Б, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте Б 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 19:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения равна 1 км/ч.
Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч. Тогда по течению она идет со скоростью
Всего лодка была в пути 19 − 9 = 10 часов. Но из этих 10 часов она 2 часа стояла в пункте Б, поэтому реально в пути она была только 10 − 2 = 8 часов.
Расстояние между пунктами по течению лодка пройдет
15x · 1 = 4 · (x2 − 1) ⇒ 4x2 − 15x − 4 = 0
Последнее квадратное уравнение имеет два корня:
Вот и все. Это была часть B. Часть C — на подходе.