Решение задач B12: №440—447

18 ноября 2011

Это простые текстовые задачи из ЕГЭ по математике 2012. Впрочем, некоторые из них не такие уж и простые. Для разнообразия некоторые задачи будут решены с помощью теоремы Виета (см. урок «Теорема Виета»), другие — стандартно, через дискриминант.

Разумеется, далеко не всегда задачи B12 будут сводиться к квадратному уравнению. Там, где в задаче возникает простое линейное уравнение, никаких дискриминантов и теорем Виета не потребуется.

Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 150 − 10p. Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 440 тыс. руб.

Это простейшая текстовая задача. Подставим формулу спроса q = 150 − 10p в формулу выручки r = q · p. Получим: r = (150 − 10p) · p.

По условию, выручка предприятия должна составлять хотя бы 440 тысяч рублей. Составим и решим уравнение:

(150 − 10p) · p = 440 — это квадратное уравнение;
150p − 10p² = 440 — раскрыли скобки;
150p − 10p² − 440 = 0 — собрали все в одной стороне;
p² − 15p + 44 = 0 — разделили все на коэффициент a = −10.

Получилось приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
p₁ + p₂ = −(−15) = 15;
p₁ · p₂ = 44.

Очевидно, корни: p₁ = 11; p₂ = 4.

Итак, у нас есть два кандидата на ответ: числа 11 и 4. Возвращаемся к условию задачи и смотрим на вопрос. Требуется найти максимальный уровень цены, т.е. из чисел 11 и 4 надо выбрать 11. Разумеется, эту задачу можно было решать и через дискриминант — ответ получится точно таким же.

Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 75 − 5p. Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 270 тыс. руб.

Задача решается аналогично предыдущей. Нас интересует выручка, равная 270. Поскольку выручка предприятия считается по формуле r = q · p, а спрос — по формуле q = 75 − 5p, составим и решим уравнение:

(75 − 5p) · p = 270;
75p − 5p² = 270;
−5p² + 75p − 270 = 0;
p² − 15p + 54 = 0.

Задача сведена к приведенному квадратному уравнению. По теореме Виета:
p₁ + p₂ = −(−15) = 15;
p₁ · p₂ = 54.

Очевидно, что корни — это числа 6 и 9. Итак, при цене 6 или 9 тысяч рублей выручка составит требуемые 270 тысяч рублей. В задаче просят указать максимальную цену, т.е. 9 тысяч рублей.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax² + bx, где a = −1/5000 (1/м), b = 1/10 — постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Итак, высота задается уравнением y = ax² + bx. Чтобы камни перелетали через крепостную стену, высота должна быть больше или, в крайнем случае, равна высоте этой стены. Таким образом, в указанном уравнении известно число y = 8 — это высота стены. Остальные числа указаны прямо в условии, поэтому составляем уравнение:

8 = (−1/5000) · x² + (1/10) · x — довольно неслабые коэффициенты;
40 000 = −x² + 500x — это уже вполне вменяемое уравнение;
x² − 500x + 40 000 = 0 — перенесли все слагаемые в одну сторону.

Получили приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
x₁ + x₂ = −(−500) = 500 = 100 + 400;
x₁ · x₂ = 40 000 = 100 · 400.

Корни: 100 и 400. Нас интересует наибольшее расстояние, поэтому выбираем второй корень.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax² + bx, где a = −1/8000 (1/м), b = 1/10 — постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 15 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Задача полностью аналогична предыдущей — только числа другие. Имеем:

15 = (−1/8000) · x² + (1/10) · x;
120 000 = −x² + 800x — умножили обе стороны на 8000;
x² − 800x + 120 000 = 0 — собрали все элементы с одной стороны.

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
x₁ + x₂ = −(−800) = 800 = 200 + 600;
x₁ · x₂ = 120 000 = 200 · 600.

Отсюда корни: 200 и 600. Наибольший корень: 600.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax² + bx, где a = −1/22 500 (1/м), b = 1/25 — постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Еще одна задача с бешеными коэффициентами. Высота — 8 метров. В этот раз попробуем решить через дискриминант. Имеем:

8 = (−1/22 500) · x² + (1/25) · x;
180 000 = −x² + 900x — умножили все числа на 22 500;
x² − 900x + 180 000 = 0 — собрали все в одной стороне.

Дискриминант: D = 900² − 4 · 1 · 180 000 = 90 000; Корень из дискриминанта: 300. Корни уравнения:
x₁ = (900 − 300) : 2 = 300;
x₂ = (900 + 300) : 2 = 600.

Наибольший корень: 600.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax² + bx, где a = −1/20 000 (1/м), b = 1/20 — постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Аналогичная задача. Высота снова 8 метров. Составим и решим уравнение:

8 = (−1/20 000) · x² + (1/20) · x;
160 000 = −x² + 1000x — умножили обе стороны на 20 000;
x² − 1000x + 160 000 = 0 — собрали все с одной стороны.

Дискриминант: D = 1000² − 4 · 1 · 160 000 = 360 000. Корень из дискриминанта: 600. Корни уравнения:
x₁ = (1000 − 600) : 2 = 200;
x₂ = (1000 + 600) : 2 = 800.

Наибольший корень: 800.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax² + bx, где a = −1/22 500 (1/м), b = 1/15 — постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 24 метра надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Очередная задача-клон. Требуемая высота: 24 метра. Составляем уравнение:

24 = (−1/22 500) · x² + (1/15) · x;
540 000 = −x² + 1500x — умножили все на 22 500;
x² − 1500x + 540 000 = 0 — собрали все в одной стороне.

Получили приведенное квадратное уравнение. Решаем по теореме Виета:
x₁ + x₂ = −(−1500) = 1500 = 600 + 900;
x₁ · x₂ = 540 000 = 600 · 900.

Из разложения видно, что корни: 600 и 900. Выбираем наибольший: 900.

Задача. В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по закону H(t) = 5 − 1,6t + 0,128t², где t — время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока высота столба жидкости будет больше нуля. Таким образом, надо выяснить, когда H(t) = 0. Составляем и решаем уравнение:

5 − 1,6t + 0,128t² = 0;
625 − 200t + 16t² = 0 — умножили все на 125;
16t² − 200t + 625 = 0 — расположили слагаемые в нормальном порядке.

Дискриминант: D = 200² − 4 · 16 · 625 = 0. Значит, корень будет всего один. Найдем его:

x₁ = (200 + 0) : (2 · 16) = 6,25. Итак, через 6,25 минуты уровень воды опустится до нулевой отметки. Это и будет момент, до которого вода будет вытекать.

Смотрите также: