Сегодня мы продолжаем изучать задачи на экстремум функции из ЕГЭ по математике. И вновь перед нами довольно сложный пример, где придется считать производную частного.
Найдите точку максимума функции:
\[y=\frac{{{(x-3)}^{3}}}{{{(x+3)}^{2}}}\]
Перед тем, как решать эту задачу, давайте вспомним, как вообще решаются все примеры на поиск экстремума функции. Обратите внимание: не наибольшего и наименьшего значения, а именно точки экстремума функции.
Первый шаг будет один и тот же: нужно найти производную функции:
\[{y}'=?\]
Второй этап в этих задачах тоже одинаковый: мы приравниваем ${y}'$ к нулю и находим какие-то $x$:
\[{y}'=0;{{x}_{1}},{{x}_{2}}...\]
А вот третий этап уже существенно отличается от того, что мы делали при решении примеров на нахождение наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Напомню, что раньше мы выбирали те значения, которые лежат на заданном отрезке. Но в нашем примере, во-первых, вообще нет никакого отрезка, а во-вторых, отбор корней нам никак не поможет в поисках точки экстремума функции. Поэтому в задачах на поиски точки экстремума функции на третьем этапе мы чертим координатную ось $x$ и отмечаем на ней все корни, а затем смотрим на знаки производной между ними. Там будет стоять либо плюс, либо минус. Как именно искать эти корни, и какие значения лучше всего подставлять в ${y}'$ — обо всем этом мы будем говорить при решении конкретного примера.
Наконец, четвертым шагом мы внимательно смотрим на каждый из наших корней и вспоминаем замечательное правило: если в каком-то корне ${y}'$ меняет свой знак с плюса на минус, то это означает, что эта точка является точкой максимума, т. е. как раз той точкой экстремума, которую от нас требуется найти в условие задачи. А если в заданной точке экстремума функции минус переходит в плюс, то данный корень является точкой минимума.
Итак, сначала нужно посчитать ${y}'$:
\[y=\frac{{{(x-3)}^{3}}}{{{(x+3)}^{2}}}\]
Перед нами производная частного, поэтому напомню следующую формулу:
\[{{\left( \frac{f}{g} \right)}^{\prime }}=\frac{{f}'\cdot \text{g}-\text{f}\cdot \text{{g}'}}{{{g}^{2}}}\]
Вот такая на первый взгляд сложная формула, но на самом деле в ней нет ничего сложного. Достаточно немножко попрактиковаться, и вы будете считать ${y}'$ частного без каких-либо затруднений. Давайте теперь решать:
\[{y}'={{\left( \frac{{{(x-3)}^{3}}}{{{(x+3)}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( {{(x-3)}^{3}} \right)}^{\prime }}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ (}x+\text{3}{{\text{)}}^{\text{2}}}-{{\left( {{(x+3)}^{2}} \right)}^{\prime }}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ (}x-\text{3}{{\text{)}}^{\text{3}}}}{{{\left( {{(x-3)}^{2}} \right)}^{2}}}\]
И вот тут возникает еще один очень тонкий момент: мы видим, что под знаком производной у нас стоит куб разности и квадрат суммы. Многие ученики сразу хотят раскрыть куб разности и квадрат суммы по формулам сокращенного умножения и затем от полученных многочленов найти ${y}'$. Ни в коем случае делать этого не нужно! Потому что если с кубом и квадратом вы еще справитесь, но если вместо 3 или 2 будет стоять 70-ая степень, раскрыть скобки в 70-ой степени вы уже не сможете. Возникает логичный вопрос: а как же тогда поступить? Очень просто. Вспоминаем формулу:
\[{{\left( {{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]
А теперь замечательное правило: если мы заменяем $x$ на линейное выражение\[kx+b\], то от него мы тоже можем считать ${y}'$ по тому же самому правилу, т. е.
\[\left( {{\left( kx+b \right)}^{n}} \right)=n\cdot {{\left( kb+b \right)}^{n-1}}\cdot k\]
Вообще эта формула является частным случаем ${y}'$. Однако в сегодняшнем уроке мы не будем применять тяжелую артиллерию, а просто воспользуемся этой формулой, которая существенно сокращает вычисления. Итак, получим:
\[{y}'=\frac{{{\left( {{\left( x-3 \right)}^{3}} \right)}^{\prime }}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left( x+3 \right)}^{2}}-{{\left( {{\left( x+3 \right)}^{2}} \right)}^{\prime }}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left( x-3 \right)}^{3}}}{{{\left( {{\left( x-3 \right)}^{2}} \right)}^{2}}}=\]
\[=\frac{3\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left( x-3 \right)}^{2}}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ 1 }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left( x+3 \right)}^{2}}-2\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left( x+3 \right)}^{1}}\cdot \text{1}{{\left( x-3 \right)}^{3}}}{{{\left( x+3 \right)}^{4}}}\]
Отлично, давайте избавимся от лишних множителей в числителе:
\[{y}'=\frac{3\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left( x-3 \right)}^{2}}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ 1 }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left( x+3 \right)}^{2}}-2\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left( x+3 \right)}^{1}}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ 1}{{\left( x-3 \right)}^{3}}}{{{\left( x+3 \right)}^{4}}}=\]
\[=\frac{3{{\left( x-3 \right)}^{2}}{{\left( x+3 \right)}^{2}}-2\left( x+3 \right){{\left( x-3 \right)}^{3}}}{{{\left( x-3 \right)}^{4}}}=\]
\[=\frac{{{\left( x-3 \right)}^{2}}\left( x+3 \right)\left( 3\left( x+3 \right)-2{{\left( x-3 \right)}^{1}} \right)}{{{\left( x+3 \right)}^{4}}}=\]
\[=\frac{{{\left( x-3 \right)}^{2}}\left( x+15 \right)}{{{\left( x+3 \right)}^{3}}}\]
Теперь переходим ко второму шагу и приравниваем ${y}'$ к нулю, получим:
\[\frac{{{(x-3)}^{2}}(x+15)}{{{(x+3)}^{3}}}=0\]
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В свою очередь, числитель равен нулю, когда
\[x-3=0\]
\[x+15=0\]
\[x+3\ne 0\]
Считаем и получаем:
\[x=3\]
Это корень второй кратности, потому что изначально множитель стоял во второй степени.
\[x=15\]
Это корень первой кратности, потому что он был в первой степени.
\[x\ne -3\]
Это корень тоже нечетной кратности, но в этот раз третьей.
Прекрасно, мы нашли два значения, в которых ${y}'$ равна 0, а также одно значение, в которой ${y}'$ не существует. Теперь отмечаем все три точки на прямой, т. е. выполняем третий шаг нашего алгоритма:
Обратите внимание! Здесь многие ученики спросят: а зачем мы обще отмечаем -3, ведь она же выколота и, следовательно, ни в коем случае не может являться точкой экстремума? Да. Безусловно, она не может являться экстремумом. Однако знак производной в ней может точно также меняться, как и в ее нулях. И, следовательно, если ее не отметить, мы получим неверную расстановку плюсов и минусов и, как следствие, неправильный ответ. Поэтому помните: на третьем шаге мы отмечаем не только нули, полученные на втором, но также и такие, в которых ${y}'$ не существует. Однако эти значения отмечаются выколотыми, и в дальнейшем решении не участвуют, они влияют только на знак. Давайте найдем его. Для этого отметим на нашей оси кратности корней.
Теперь берем любое число, большее, чем каждый из этих корней, например, 500, и подставляем в наше выражение. Первый у нас получился «плюс». Затем мы проходим через корень 3 — это корень второй кратности, следовательно, при переходе через него знак не поменяется, т. е. останется «плюс». Теперь при переходе через -3, поскольку это корень 3-ей кратности, т. е. нечетной кратности, знак поменяется, мы получим «минус». Затем мы проходим через точку -15. она у нас первой кратности и, следовательно, знак также поменяется, потому что 1 — это нечетное число. Получаем «плюс»:
Переходим к последнему этапу. Смотрим: от нас требуется найти точку максимума, т. е. ту точку экстремума, в которой «плюс» поменяется на «минус». На нашем рисунке такая только одна — $x=-15$, слева от нее стоит «плюс», а справа - «минус».
Напомню, что счет этих самых плюсов и минусов всегда идет слева направо, т. е. в ту сторону, куда направленная положительная сторона оси $x$.
Все, можно записывать ответ: $x=-15$.
В заключении хотел бы еще раз обратить ваше внимание на два ключевых момента в решении этого примера на нахождение экстремума:
