Показательные функции в задаче B15

28 апреля 2012

По определению, показательная функция — это выражение вида y = a^x, где a > 0. Но в задаче B15 встречаются только функции вида y = e^x. В крайнем случае, y = e^{kx + b}. Причина в том, что производные этих функций считаются очень легко:

(e^x)’ = e^x;
(e^{kx + b})’ = k · e^{kx + b}.

Как видите, если в показателе стоит просто переменная x, ничего не меняется. А если там будет линейное выражение вида kx + b, то спереди добавляется множитель k. Эта формула — частный случай производной сложной функции.

Задачи на вычисление наибольшего/наименьшего значения

Все задачи B15 с показательной функцией решаются по стандартной схеме — см. «Общая схема решения задач B15». Но если требуется найти наименьше/наибольшее значение функции, есть одна фишка:

Показатель должен быть равен нулю. Потому что e⁰ = 1 — нормальное число, его можно записать в ответ. В отличие от чисел e¹, e², которые вообще не представимы в виде десятичной дроби.

Данное замечание реально сокращает объем вычислений. Аналогичное правило есть у логарифмов — см. «Как считать логарифмы еще быстрее». И это вполне логично, поскольку логарифмы и показательные функции — родственные объекты.

А теперь разберем конкретные задачи.

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−1; 5]:

y = (x² − 5x + 5)e^{x − 3}

Сначала находим производную и раскладываем ее на множители:

y’ = ((x² − 5x + 5)e^{x − 3})’ = ... = (x² − 3x)e^{x − 3} = x(x − 3)e^{x − 3}

Затем приравниваем полученное выражение к нулю и находим корни:

x(x − 3)e^{x − 3} = 0;
x₁ = 0; x₂ = 3.

Оба корня принадлежат отрезку [−1; 5]. Итого получаем четыре точки: два корня и два конца отрезка. Осталось вычислить значение функции в этих точках:

y(−1) = ((−1)² − 5 · (−1) + 5)e^{−1 − 3} = ... = 11e⁻⁴;
y(0) = (0² − 5 · 0 + 5)e^{0 − 3} = ... = 5e⁻³;
y(3) = (3² − 5 · 3 + 5)e^{3 − 3} = ... = −1;
y(5) = (5² − 5 · 5 + 5)e^{5 − 3} = ... = 5e².

Заметим, что из этих четырех чисел в бланк можно записать только y = −1. Кроме того, это единственное отрицательное число. Следовательно, это число и будет наименьшим.

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 6]:

y = (2x − 7)e^{8 − 2 · x}

Как и в прошлый раз, вычисляем производную функции и раскладываем ее на множители:

y’ = (y = (2x − 7)e^{8 − 2 · x})’ = ... = (16 − 4x)e^{8 − 2 · x} = 4(4 − x)e^{8 − 2 · x}

Приравниваем производную к нулю и находим корни:

y’ = 0;
4(4 − x)e^{8 − 2 · x} = 0;
x = 4.

Корень x = 4 принадлежит отрезку [0; 6]. Мы ищем наибольшее значение, поэтому подставляем этот корень, а также концы отрезка в исходную функцию. Имеем:

y(0) = (2 · 0 − 7)e^{8 − 2 · 0} = ... = −7e⁸;
y(4) = (2 · 4 − 7)e^{8 − 2 · 4} = ... = 1;
y(6) = (2 · 6 − 7)e^{8 − 2 · 6} = ... = 5e⁻⁴.

Итак, ответом может быть только число y = 1.

Задачи на вычисление точек максимума/минимума

В задачах на точки максимума/минимума нельзя применять приведенное выше правило, поэтому считаем все по стандартной схеме.

Задача. Найдите точку минимума функции:

y = (x − 12)e^{x − 11}

В первую очередь считаем производную:

y’ = (y = (x − 12)e^{x − 11})’ =
= (x − 12)’ · e^{x − 11} + (x − 12) · (e^{x − 11})’ =
= 1 · e^{x − 11} + (x − 12)e^{x − 11} =
= (1 + x − 12)e^{x − 11} =
= (x − 11)e^{x − 11}

Приравниваем производную к нулю:

y’ = 0;
(x − 11)e^{x − 11} = 0;
x − 11 = 0;
x = 11.

Множитель e^{x − 11} никогда не равен нулю, поэтому мы избавились от него. Осталось начертить координатную ось и расставить знаки производной:

Итак, в точке x = 11 знак производной меняется с минуса на плюс. Считаем всегда в направлении оси — слева направо. Значит, x = 11 — это точка минимума.

Задача. Найдите точку максимума функции:

y = (2x² − 34x + 34)e^{6 − x}

Снова считаем производную:

y’ = ((2x² − 34x + 34)e^{6 − x})’ =
= (2x² − 34x + 34)’ · e^{6 − x} + (2x² − 34x + 34) · (e^{6 − x})’ =
= (4x − 34)e^{6 − x} + (2x² − 34x + 34) · (−1) · e^{6 − x}

Напомню, что производная сложной показательной функции считается по формуле:

(e^{kx + b})’ = k · e^{kx + b};
(e^{6 − x})’ = (−1) · e^{6 − x}.

Производная получилась довольно навороченная. Разложим ее на множители, для этого вынесем e^{6 − x} за скобку. Имеем:

(4x − 34)e^{6 − x} + (2x² − 34x + 34) · (−1) · e^{6 − x} =
= e^{6 − x} · (4x − 34 − 2x² + 34x − 34) =
= e^{6 − x} · (−2x² + 38x − 68)

Приравниваем полученное выражение к нулю:

e^{6 − x} · (−2x² + 38x − 68) = 0;
−2x² + 38x − 68 = 0;
x² − 19x + 34 = 0;
...
x₁ = 17; x₂ = 2.

Множитель e^{6 − x} снова можно безболезненно убрать, поскольку он никогда не равен нулю. Осталось отметить полученные точки и знаки производной на координатной прямой:

Обратите внимание: на рисунке отмечены знаки производной функции: y = e^{6 − x} · (−2x² + 38x − 68) — а вовсе не многочлена x² − 19x + 34, как думают некоторые ученики. В скобках стоит квадратичная функция, ее график — парабола ветвями вниз, поскольку a = −2 < 0.

В точке x = 17 знак производной меняется с плюса на минус. Значит, это точка максимума, что и требовалось найти.

Смотрите также: