Очень часто в задачах C1 из ЕГЭ по математике ученикам предлагают решить тригонометрическое уравнение, содержащее формулу двойного угла.
Сегодня мы вновь будем разбирать задачу С1 и, в частности, разберем довольно нестандартный пример, который одновременно вместил в себе и формулу двойного угла, и даже однородное уравнение. Итак:
Решите уравнение. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:
sinx+sin2x2−cos2x2,x∈[−2 π ;− π 2]
\sin x+\frac{{{\sin }^{2}}x}{2}-\frac{{{\cos }^{2}}x}{2},x\in \left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]
Полезные формулы для решения
Прежде всего, хотел бы напомнить, что все задания С1 решаются по одной и той же схеме. В первую очередь, исходную конструкцию нужно преобразовать в выражении, в котором содержится синус, косинус или тангенс:
sinx=a
\sin x=a
cosx=a
\cos x=a
tgx=a
tgx=a
Именно в этом состоит основная сложность задания С1. Дело в том, что для каждого конкретного выражения требуются свои выкладки, с помощью которых можно перейти от исходника к таким простейшим конструкциям. В нашем случае это формула двойного угла. Давайте я запишу ее:
cos2x=cos2x−sin2x
\cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x
Однако в нашем задании нет cos2x{{\cos }^{2}}x или sin2x{{\sin }^{2}}x, зато естьsin2x2\frac{{{\sin }^{2}}x}{2} и cos2x2\frac{{{\cos }^{2}}x}{2}.
Решаем задачу
Что же делать с этими выкладками? Давайте мы немножко схитрим, и в наши формулы синуса и косинуса двойного угла введем новую переменную:
x=t2
x=\frac{t}{2}
Мы запишем такую конструкцию с синусом и косинусом:
cos2⋅t2=cos2t2−sin2t2
\cos 2\cdot \frac{t}{2}=\frac{{{\cos }^{2}}t}{2}-\frac{{{\sin }^{2}}t}{2}
Или другими словами:
cost=cos2t2−sin2t2
\cos t=\frac{{{\cos }^{2}}t}{2}-\frac{{{\sin }^{2}}t}{2}
Возвращаемся к нашему исходному заданию. Давайте sin2x2\frac{{{\sin }^{2}}x}{2} перенесем вправо:
sinx=cos2x2−sin2x2
\sin x=\frac{{{\cos }^{2}}x}{2}-\frac{{{\sin }^{2}}x}{2}
Справа стоит именно те самые выкладки, которые мы только что записали. Давайте мы преобразуем их:
sinx=cosx
\sin x=\cos x
А теперь внимание: перед нами однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Смотрите, у нас нет никаких слагаемых, состоящих просто из чисел и просто из xx, у нас есть только синус и косинус. Также у нас нет квадратных тригонометрических функций, все функции идут в первой степени. Как решаются такие конструкции? В первую очередь, давайте предположим, что cosx=0\cos x=0.
Подставим это значение в основное тригонометрическое тождество:
sin2x+cos2x=1
{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1
sin2x+0=1
{{\sin }^{2}}x+0=1
sinx=±1
\sin x=\pm 1
Если эти числа, 0 и ±1, мы подставим в исходную конструкцию, то получим следующее:
±1 = 0
\pm 1\text{ }=\text{ }0
Мы получили полный бред. Следовательно, наше предположение, что cosx=0\cos x=0 неверно, cosx\cos x не может быть равен 0 в данном выражении. А если cosx\cos x не равен 0, то давайте разделим обе стороны на cosx\cos x:
sinxcosx=1
\frac{\sin x}{\cos x}=1
sinxcosx=tgx
\frac{\sin x}{\cos x}=tgx
tgx=1
tgx=1
И вот мы получили долгожданное простейшее выражение вида tgx=atgx=a. Прекрасно, решаем его. Это табличное значение:
x= π 4+ π n,n˜∈Z
x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n˜\in Z
Мы нашли корень, мы решили первую часть задачи, т. е. честно заработали один первичный балл из двух.
Переходим ко второй части: найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку, а, точнее, отрезку
[\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]\]. Предлагаю, как и в прошлый раз решать это выражение графически, т. е. нарисовать окружность, отметить в ней начало, т. е. 0, а также концы отрезка:
На отрезке
−2 π ;−π2
-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\pi }{2} нужно найти все значения, которые принадлежат
π 4+ π n
\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n. А теперь самое веселое: дело в том, что сама точка π 4\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} не принадлежит отрезку
[−2 π ;− π 2],
\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right], это очевидно:
π 4∉˜[−2 π ;− π 2]
\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}\notin ˜\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\text{ }\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]
Уже хотя бы потому, что оба конца этого отрезка отрицательные, а число π 4\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} положительное, но с другой стороны, какие-то значения вида
π 4+ π n
\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n все-таки принадлежат нашему отрезку. Так как же их выделить? Очень просто: берем конец отрезка
−2 π
-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } и прибавляем π 4\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} , т. е. все происходит то же самое, как если бы мы начали отчет не от 0, а от −2 π -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }, и у нас найдется первая точка:
x=−2 π + π 4=−7 π 4
x=-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}=-\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}
Теперь второе число:
x=−2 π + π 4+ π =−3 π 4
x=-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }=-\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}
Это и есть второе значение. Других корней нет, потому что мы сами при их разметке и при отметке нашего отрезка ограничения обнаружили, что внутри этого отрезка лежат лишь два вида — π 4\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} и π 4+ π \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }. Эти точки мы и наши. Выписываем ответ:
−7 π 4;−3 π 4
-\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4};-\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}
За такое решение вы получите два первичных балла из двух возможных.
Еще раз ключевые шаги, которые необходимо выполнить. В первую очередь, нужно знать выкладки двойного угла синуса или косинуса, в частности, именно в нашей задаче, косинус двойного угла. Кроме того, после его применения необходимо решить простейшее тригонометрическое уравнение. Решается оно довольно просто, однако необходимо написать и проверить, что cosx\cos x в нашей конструкции не равен 0. После тригонометрического уравнения мы получаем элементарное выражение, в нашем случае это tgx=1tgx=1, которое легко решается по стандартным формулам, известным еще с 9-10 класса. Таким образом, мы решим пример и получим ответ на первую часть задания — множество всех корней. В нашем случае это
π 4+ π n,n∈Z
\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in ˜Z. Затем остается лишь отобрать корни, принадлежащие отрезку
[−2 π ;− π 2]
\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]. Для этого мы снова чертим тригонометрический круг, отмечаем на нем наши корни и наш отрезок, а затем отсчитываем от конца то самое π 4\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} и π 4+ π \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }, которые получились во время отметки всех корней вида π 4+ π n\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n. После несложного счета мы получили два конкретных корня, а, именно,
−7 π 4
-\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} и
−3 π 4
-\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}, которые являются ответом ко второй части задачи, т. е. корнями, принадлежащими отрезку
[−2 π ;− π 2]
\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right].
Чтобы без проблем справиться с задачами C1 такого типа, запомните две основные формулы:
sin2 α =2sin α cos α
\sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=2\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } — эта формула для синусов всегда работает именно в таком виде;
С первой все понятно. Но что за варианты возможны во втором случае? Дело в том, что косинус двойного угла можно записать по-разному:
cos2 α =cos2 α −sin2 α =2cos2 α −1=1−2sin2 α
\cos 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\cos 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-\sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=2\cos 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-1=1-2\sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }
Эти равенства следуют из основного тригонометрического тождества. Ну и какое равенство выбрать при решении конкретного примера C1? Все просто: если вы планируете свести конструкцию к синусам, то выбирайте последнее разложение, в котором присутствует только
sin2 α
\sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }. И наоборот, если хотите свести все выражение к работе с косинусами, выбирайте второй вариант — тот, где косинус является единственной тригонометрической функцией.
