Задачи этого типа появились в ЕГЭ относительно недавно, но застали врасплох как учеников, так и многих учителей. А всё потому что решаются они с помощью производной — инструмента, совершенно непривычного для второй части экзамена.
Задача 17. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.
В приведённом условии есть важный момент, после осознания которого у вас вообще не будет проблем с решением подобных задач. Дело в том, что величина $t$, указанная для первого завода и для второго — это не одно и то же число! Другими словами, суммарное время рабочих на первом и другом заводе будет разным.
Для решения введём новые переменные: ${{a}^{2}}$ — суммарное время рабочих на первом заводе, ${{b}^{2}}$ — суммарное время на втором. С учётом производительности получим:
$\begin{align}& {{a}^{2}}\to 3a \\& {{b}^{2}}\to 4b \\\end{align}$
Таким образом, затратив суммарно ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ часов времени, мы получим $3a+4b$ единиц продукции в неделю. Всё остальное — элементарная математика, подробно описанная в видеоуроке:
В прошлый раз мы рассматривали довольно «противные» задачи, связанные с вычислением времени в задачах про кредиты. Но это было очень просто по сравнению с тем, что мы будем рассматривать сегодня, а именно экономическую задачу 17 про производительность труда, в которой требуется применять производную. Эти задачи появились в ЕГЭ по математике относительно недавно, и те, кто уже с ними столкнулся, оценили, что, во-первых, условие таких задач довольно длинное, а, во-вторых, в каждой из таких задач есть неприятная зацепка, на которой «прогорели» очень многие ученики.
Думаю, вы уже догадались, что речь идет о той самой задачи 17, когда у Григория есть два завода, и еще указана производительность труда, и требуется оценить, какое наибольшее количество продукции можно произвести на этих двух заводах, если распределить нагрузку оптимально. Но на самом деле, в этих задачах 17 нет ничего сложного, даже чуть проще, чем многие задачи на кредиты. Поэтому сейчас мы рассмотрим одно из таких заданий, внимательно пробежимся по каждому пункту и посмотрим, как именно должно выглядеть идеальное ее решение.
Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.
Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Прежде всего, перед тем как переходить к непосредственному решению задачи 17 из ЕГЭ по математике, попытаться что-то посчитать, составить какие-то формулы, поймите одну простую вещь: величина ${{t}^{2}}$, данная и в первом, и во втором предложении, никак не связаны друг с другом. Коэффициент $t$ нам дан исключительно для того, чтобы сравнить производительность на разных заводах при одинаковом расходе времени. Думаю, это сравнение абсолютно очевидно: на первом производительность составляет $3t$, а на втором — $4t$, т.е. чуть побольше. На практике это означает следующее: давайте распишем, что происходит на каждом из них.
На первом заводе у нас расходуется ${{a}^{2}}$ времени (после замены) и производится $3a$ единиц продукции. На втором — ${{b}^{2}}$ времени и $4b$ продукции.
А теперь давайте сложим расходы времени и суммарный выпуск продукта.
Получим, что суммарный расход времени составляет ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$, а суммарный расход продукции — $3a+4b$. При этом еще раз обращаю ваше внимание: никто не говорил, что ${{a}^{2}}$ и ${{b}^{2}}$ должны быть равны. Ключевое слово здесь «если» и в первом, и во втором случае. Именно поэтому мы так смело меняем коэффициенты $t$ на $a$ в первом случае и на $b$ во втором случае.
Давайте посмотрим, что у нас получилось. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ — это суммарный расход времени. Поскольку Григорий платит рабочему 500 рублей за каждый час работы, то всего он сможет заплатить такую сумму:
\[500\cdot \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=5000000\]
Вот и первое уравнение.
На самом деле, основная сложность этой задачи 17 про производительность труда — вовсе не составление уравнения. Она состоит в том, что нужно понять, что на первом и на втором заводе время разное. Именно поэтому для первого мы везде заменили $t$ на $a$, а для второго — $t$ на $b$. В итоге как вы сейчас увидите, мы получим одно уравнение с двумя неизвестными, которое легко упрощается — одна неизвестная легко выражается через другую. И поэтому вся функция, выражающая количество произведенного товара, на самом деле зависит от одной-единственной переменной, в нашем случае это будет переменная $a$.
Далее, я думаю, все понятно: у нас есть функция, отрезок, на котором эта функция рассматривается, а все, что нам требуется найти — это наибольшее значение этой функции на данном отрезке. Вообщем, классическая задача для применения производных, в нашем случае новая задача 17 из ЕГЭ по математике.
Суммарный выпуск продукции ($S$) равен:
\[S=3a+4b\to \max \]
Вот теперь задача и проявилась: имея ограничение на $a$ и $b$, нам нужно добиться того, чтобы $S$ принимала свое максимальное значение. Для начала давайте немножко поработаем с уравнением: $$
\[500\cdot \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=5000000\left| :500 \right.\]
\[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=10000\]
Отсюда выразим $b$:
\[{{b}^{2}}=10000-{{a}^{2}}\]
\[b=\sqrt{10000-{{a}^{2}}}\]
Конечно, тут следовало бы перед выражением поставить $\pm $, однако у нас речь идет о времени, а оно не может быть отрицательным, поэтому мы берем положительное значение. Итого суммарный объем выпускаемого товара может быть выписан как функция от одной-единственной переменной $a$:
\[S=3a+4\sqrt{10000-{{a}^{2}}}\]
Теперь нам нужно найти максимальное значение этой функции на всей области определения, а совершенно очевидно, что величину $a$, т.е. количество товара, выпущенного на первом заводе, увеличивать до бесконечности нельзя, просто потому что корень имеет конкретную область определения — величина, стоящая под корнем, не должна быть отрицательной. Давайте запишем это:
\[10000-{{a}^{2}}\ge 0\]
\[{{a}^{2}}\le 10000\]
\[\left| a \right|\le 100\]
\[a\in \left[ 0;100 \right]\]
Итого мы получили классическую задачу из первой части ЕГЭ по математике: у нас есть функция, есть интервал, соответственно, нужно найти максимальное значение этой функции на заданном интервале. Давайте считать производную:
\[{S}'=3+4\cdot \frac{1\cdot \left( 10000-{{a}^{2}} \right)}{2\sqrt{10000-{{a}^{2}}}}=3+\frac{4\cdot \left( -2a \right)}{2\sqrt{10000-{{a}^{2}}}}=\]
\[=3-\frac{4a}{\sqrt{10000-{{a}^{2}}}}\]
\[3-\frac{4a}{\sqrt{10000-{{a}^{2}}}}=0\]
Решаем полученное уравнение:
\[3=\frac{4a}{\sqrt{\sqrt{10000-{{a}^{2}}}}}\]
\[3\sqrt{10000-{{a}^{2}}}=4a\]
\[9\left( 10000-{{a}^{2}} \right)=16{{a}^{2}}\]
\[90000-9{{a}^{2}}=16{{a}^{2}}\]
\[25{{a}^{2}}=90000\]
\[5a=3\cdot 100\]
\[a=\frac{3\cdot 100}{5}=60\]
Теперь, зная, чему равно $a$, легко найти $b$:
\[b=\sqrt{10000-3600}=\sqrt{6400}=80\]
Однако для полного и обоснованного решения необходимо понять знак производной. Давайте начертим числовую прямую и отметим на ней $a=60$ и посмотрим, что происходит при $a \gt 60$:
Например, если взять $a=99$ мы получим следующее:
\[10000-{{99}^{2}}={{100}^{2}}-{{99}^{2}}=\left( 100-99 \right)\left( 100+99 \right)=199\]
Если посмотрим на исходное выражение, то очевидно, что $\sqrt{199} \lt 99$, но посчитав его, получаем в ответе отрицательное число.
Отсюда следует, что$a=60$является точкой максимума, т.е. именно той, которую мы и хотели найти. Именно в ней наша исходная функция принимает исходное значение. Осталось подставить в $S$ полученное значение $a$ и $b$:
\[S=3\cdot 60+4\cdot 80=180+320=500\]
Окончательный ответ: 500 единиц товара.
Как видите, все оказалось не так уж и сложно. Единственно, что нам нужно запомнить — это то, что величина ${{t}^{2}}$, когда речь идет о первом заводе дает нам информацию о производительности труда именно на нем, т.е. связывает время, затраченное на производство и количество продукции в рамках только него.
Величина ${{t}^{2}}$, относящаяся ко второму заводу, говорит нам именно о нем и никак не связана с первым.
Более того, считать, что количество времени, затраченного рабочими на первом и на втором заводах, абсолютно одинаково — это вообще глупость, потому что в этом случае полученное уравнение оказалось бы намного проще и решалось бы как элементарное линейное: нам бы не потребовалось никаких производных, никаких доказательств, что мы получили точку максимума — мы просто бы разделили зарплату между рабочими первого и второго производств пополам.
Поэтому запомните: время, потраченное на первом и на втором заводах, разное, поэтому пусть на первом потрачено ${{a}^{2}}$ времени, а на втором — ${{b}^{2}}$. В этом случае задача действительно становится сложнее, при этом интересней и вполне достойной называться задачей 17 из ЕГЭ по математике.
А в качестве десерта предлагаю решить еще одну такую же задачу 17 из ЕГЭ по математике, однако выкладки в этот раз будут минимальными, по возможности такими, какие и нужно делать на экзамене по математике.
Сергей владеет двумя промышленными заводами, выпускающими одинаковую продукцию. На втором заводе установлено современное оборудование, поэтому на нем может быть выпущено больше единиц продукции. Известно, что если рабочие первого завода суммарно трудятся ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то выпускают $t$ единиц продукции. А если рабочие второго завода суммарно трудятся ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то выпускают $2t$ единиц продукции. Ставка заработной платы рабочего составляет 500 рублей в час.
Сергей готов платить рабочим 30 250 000 рублей в неделю. На какое максимальное количество единиц продукции он может рассчитывать?
Если рабочие на первом заводе трудятся ${{x}^{2}}$, то это дает нам $x$ единиц товара. На втором ${{y}^{2}}$ времени дает нам $y$ товаров. Вновь складываем расходы времени — ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ и отдельно складываем объем продукции — $x+2y$. Величина ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ — это суммарный расход времени за неделю.
Поскольку за каждый час работы платится 500 рублей, то суммарный расход денег за неделю составит:
\[500\cdot \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=30250000\]
\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=60500\]
Таким способом, ограничения на ${{x}^{2}}$ и ${{y}^{2}}$ найдены.
Теперь необходимо записать сумму:
\[S=x+2y\to \max \]
Опять же будем считать производную, но для этого сначала необходимо выразить $y$ через $x$:
\[{{y}^{2}}=60500-{{x}^{2}}\]
\[y=\sqrt{60500-{{x}^{2}}}\]
Подставляем найденное значение $y$ в нашу формулу и получаем:
\[S=x+2\cdot \sqrt{60500-{{x}^{2}}}\]
Находим производную этой конструкции:
\[{S}'=1+2\frac{1\left( -2x \right)}{2\sqrt{60500-{{x}^{2}}}}=1-\frac{2x}{\sqrt{60500-{{x}^{2}}}}\]
Вновь приравниваем полученное выражение к нулю:
\[1-\frac{2x}{\sqrt{60500-{{x}^{2}}}}=0\]
\[\frac{1}{1}=\frac{2x}{\sqrt{60500-{{x}^{2}}}}\]
\[\sqrt{60500-{{x}^{2}}}=2x\]
\[60500-{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}\]
\[60500=5{{x}^{2}}\]
\[{{x}^{2}}=\frac{60500}{5}=121\cdot 100\]
\[x=11\cdot 10=110\]
Мы получили критическую точку функции $S$. Теперь необходимо доказать, что это точка максимума. Для этого начертим вновь прямую, отметим на ней полученную точку 110 и возьмем любое число, больше чем 110. Однако для упрощения дальнейших выкладок предлагаю взять не рандомное число как в прошлый раз, а посчитать его с помощью следующего метода. Для начала давайте найдем $y$. Запишем такое выражение:
\[y=2x=220\]
Очевидно, что 220 больше 110, и если мы поставим его в нашу функцию, то получим число на отмеченном интервале:
Давайте подставим:
${S}'\left( 220 \right)=1-\frac{2\cdot 220}{\sqrt{60500-{{220}^{2}}}}=1-\frac{440}{\sqrt{60500-48400}}=$
$=1-\frac{440}{\sqrt{12100}}=1-\frac{440}{110}=1-4=-3$
Следовательно, справа от числа 110 мы получаем отрицательную производную, а слева, естественно, будет положительная.
Итого 110 — точка максимума. Это является строгим обоснованием.
Теперь подставляем в выражение $x$ и $y$, которые мы нашли:
\[S=110+2\cdot 220=110+440=550\]
Ответ: 550 единиц товара.
Все, что нам нужно знать — это:
Кроме того, хотел бы отметить, что не надо бояться работать с большими числами. Такие выражения, когда у нас появляются пятизначные и более числа, абсолютно типичны для последних задач 17 из ЕГЭ по математике, потому что они реально трудные. Но на самом деле, в этих задачах из ЕГЭ нет ничего трудного. Вам только нужно знать следующее:
Кроме того, необходимо понимать, как связано время, затраченное на первом производстве и на втором, т.е. каковы максимальны ограничения на это время.
А дальше дело техники: считаем производную, решаем уравнение, подставляем в исходное ограничение и получаем окончательный ответ.
Надеюсь, это видео поможет вам построить собственный завод, где вы будете платить рабочим по 30 млн. рублей в неделю, если такой суммы вам окажется недостаточно, заходите на наш сайт, подписывайтесь на паблик ВКонтакте и на канал в YouTube. До новых встреч!
