Учимся расщеплять ответы в тригонометрических уравнениях

Думаю, всем известно общее решение уравнения вида sin x = a:

x = (−1)n arcsin a + πn, n ∈ Z

Именно так нас учат записывать ответы в школе. Главное преимущество этой формулы — краткость. Однако у нее есть множество недостатков. Например:

  1. Многие ученики не понимают эту формулу. Как с ней работать? И откуда берется множитель (−1)n? В результате начинается зубрежка, а зубрежка — это зло;
  2. Числа, записанные в таком виде, совершенно не приспособлены для использования в неравенствах. Их сложно отмечать на координатной прямой (хотя все-таки можно — после упорной тренировки).

И это еще не все! Например, что будет, если синус равен отрицательному числу? Почему степень увеличивается на единицу? Далеко не все ученики это понимают. Поэтому, чтобы избежать проблем, предлагаю разбивать ответ два простых подмножества. Взгляните:

Было:

x = (−1)n arcsin a + πn, n ∈ Z

Стало:

x = arcsin a + 2πn, n ∈ Zm
x = π − arcsin a + 2πk, k ∈ Z

Обратите внимание: в новой записи изменился период. Отныне к арксинусу добавляется 2πn — так же, как у арккосинуса. Давайте посмотрим, как это правило работает на практике.

Смотрите также:
  1. Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии
  2. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
  3. Метод коэффициентов, часть 1
  4. Сложение и вычитание дробей
  5. Как решать простейшие логарифмические уравнения
  6. Углы и отрезки в пирамиде