Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс

18 мая 2022

Сегодня мы узнаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Это первый и самый важный урок по тригонометрии на всём сайте.

Содержание:

1. Ключевые определения: синус, косинус, тангенс, котангенс.
2. Почему эти значения зависят только от углов?
3. Стандартные углы: 30°, 45°, 60°.
4. Простейшие свойства синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
5. Тригонометрия на координатной сетке.

Никаких сложных формул и длинных решений. Всё расписано максимально подробно. Изучите этот урок — и никаких проблем с тригонометрией не будет. Погнали!

1. Ключевые определения

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha $:

Мы видим, что острый угол $\alpha $ образован гипотенузой $c$ и катетом $b$. Такой катет будем называть прилежащим. А катет $a$, который не участвует в формировании угла $\alpha $, назовём противолежащим:

Это общепринятые названия: как только в прямоугольном треугольнике отмечен острый угол, для него немедленно можно указать прилежащий катет и противолежащий. И тут мы переходим к ключевым определениям.

1.1. Синус, косинус, тангенс, котангенс

Итак, пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $.

Тогда:

Определение 1. Синус угла $\alpha $ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

\[\sin \alpha =\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}=\frac{a}{c}\]

Определение 2. Косинус угла $\alpha $ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\[\cos \alpha =\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}=\frac{b}{c}\]

Определение 3. Тангенс угла $\alpha $ — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

\[\operatorname{tg}\alpha =\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}=\frac{a}{b}\]

Определение 3. Котангенс угла $\alpha $ — это отношение прилежащего катета к противолежащему:

\[\operatorname{ctg}\alpha =\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}=\frac{b}{a}\]

Вот так всё просто! Берём один катет, делим его на гипотенузы (или на другой катет) — и получаем выражение для синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Все эти выражения называются тригонометрическими («тригонометрия» = «треугольники измеряю»).

Рассмотрим пару примеров.

Задача 1. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $\alpha $.

Решение. Это классический прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Угол $\alpha $ (он же — угол $A$ или угол $BAC$) образован прилежащим катетом $AB=3$гипотенузой $AC=5$. Следовательно катет $BC=4$ — противолежащий.

Имеем:

\[\begin{align}\sin \alpha& =\frac{BC}{AC}=\frac{5}{4} \\ \cos \alpha& =\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5} \\ \operatorname{tg}\alpha& =\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3} \end{align}\]

Далеко не всегда будут получаться такие красивые ответы. Чаще они будут содержать корни — это следствие теоремы Пифагора. Но важно понимать: как только мы находим длины катетов и гипотенузу, мы сразу можем найти и синусы, косинусы, тангенсы.

Далее в примерах мы не будем считать котангенсы, потому что из формулы котангенса очевидно, что они легко выражаются через тангенсы:

\[\operatorname{ctg}\alpha =\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha }\]

Но об этом чуть позже.

Задача 2. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $\alpha $.

Это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $AB=BC=1$. Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

\[\begin{align}{{ AC}^{2}} & ={{AB}^{2}}+{{BC}^{2}}=1+1=2 \\ AC & =\sqrt{2} \\ \end{align}\]

Теперь найдём синус, косинус и тангенс:

\[\begin{align}\sin \alpha &=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos \alpha &=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \operatorname{tg}\alpha&=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{1}=1 \end{align}\]

Простое правило, чтобы не запутаться, где прилежащий катет, а где противолежащий. Просто помните: приставка «ко» означает «вместе», «сообща». Поэтому «косинус» — это «катет, лежащий рядом, к гипотенузе», «котангенс» — это «катет, лежащий рядом, к противолежащему». И никак иначе.:)

1.2. Задачи для тренировки

Перед тем как переходить к следующей части урока, предлагаю 4 примера для тренировки.

Задача 3. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $. Найдите $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname{tg}\alpha $.

Решение.

\[\begin{align}\sin \alpha &=\frac{5}{13} \\ \cos \alpha &=\frac{12}{13} \\ \operatorname{tg}\alpha &=\frac{5}{12} \\ \end{align}\]

Задача 4. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $. Найдите $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname{tg}\alpha $.

Решение.

\[\begin{align}\sin \alpha &=\frac{8}{17} \\ \cos \alpha &=\frac{15}{17} \\ \operatorname{tg}\alpha &=\frac{8}{15} \\ \end{align}\]

Задача 5. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $. Найдите $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname{tg}\alpha $.

Прилежащий катет по теореме Пифагора:

\[\begin{align}{{l}^{2}}&={{3}^{2}}-{{1}^{2}}=9-1=8 \\ l&=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \\ \end{align}\]

Синус, косинус и тангенс:

\[\begin{align}\sin \alpha&=\frac{1}{3} \\ \cos \alpha&=\frac{2\sqrt{2}}{3} \\ \operatorname{tg}\alpha&=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4} \\ \end{align}\]

Задача 6. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $. Найдите $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname{tg}\alpha $.

Прилежащий катет по теореме Пифагора:

\[\begin{align}{{l}^{2}} &={{2}^{2}}-{{1}^{2}}=4-1=3 \\ l &=\sqrt{3} \\ \end{align}\]

Синус, косинус и тангенс:

\[\begin{align}\sin \alpha&=\frac{1}{2} \\ \cos \alpha&=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \operatorname{tg}\alpha&=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \end{align}\]

Как видим, считать синусы, косинусы и тангенсы совсем несложно. Перейдём теперь к принципиально важному вопросу: а зачем вообще всё это нужно?

2. Теорема о единственности

Ключевая идея: синус, косинус, тангенс и котангенс зависят только от величины угла $\alpha $ и никак не зависят от прямоугольного треугольника, в котором идут вычисления.

Такого не произойдёт. Потому что есть теорема о единственности.

2.1. Формулировка теоремы

Теорема. Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике определяются только величиной этого угла и никак не зависят от самого треугольника.

2.2. Доказательство

Рассмотрим произвольный острый угол $\alpha $. Для удобства обозначим его вершину буквой $A$:

А затем впишем в него два произвольных прямоугольных треугольника — $ABC$ и $AMN$. Любым удобным способом. Например, можно вписать эти треугольники вот так:

А можно и вот так — это не имеет никакого значения:

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AMN$. Угол $A$ у них общий; углы \[\angle ABC=\angle AMN=90{}^\circ \] по условию. Следовательно, треугольники $ABC$ и $AMN$ подобны по двум углам:

\[\Delta ABC\sim \Delta AMN\]

Из подобия треугольников следует двойное равенство

\[\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{MN}=\frac{AC}{AN}\]

Выпишем второе равенство — получим пропорцию

\[\frac{BC}{MN}=\frac{AC}{AN}\]

Попробуем выразить $\sin \alpha $. Вспомним основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Поэтому

\[BC\cdot AN=MN\cdot AC\]

Разделим обе части равенства на длину каждой гипотенузы — $AN$ и $AC$:

\[\begin{align}\frac{BC\cdot AN}{AN\cdot AC} &=\frac{MN\cdot AC}{AN\cdot AC} \\ \frac{BC}{AC} &=\frac{MN}{AN} \end{align}\]

Однако по определению синуса имеем:

\[\begin{align}\sin BAC &=\frac{BC}{AC} \\ \sin MAN &=\frac{MN}{AN} \\ \end{align}\]

Получается, что $\sin BAC=\sin MAN$. Другими словами, вне зависимости от выбора треугольника для данного угла $\alpha $ мы всегда будем получать одно и то же значение $\sin \alpha $.

То же самое касается и $\cos \alpha $, $\operatorname{tg}\alpha $ и $\operatorname{ctg}\alpha $ — они зависят лишь от градусной меры угла $\alpha $ и никак не зависят от конкретного прямоугольного треугольника, в котором они находятся. Теорема доказана.

3. Стандартные углы

Итак, значения $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname{tg}\alpha $ и $\operatorname{ctg}\alpha $ однозначно определяются величиной угла $\alpha $. Нам не важен треугольник — важна только градусная мера угла. Можно один раз посчитать синусы, косинусы и т.д. для нужных углов, а затем просто подставлять их.

Но тут мы сталкиваемся с проблемой, из-за которой многие как раз и не понимают тригонометрию. Проблема состоит из двух пунктов:

1. Для большинства углов $\alpha $ нельзя найти точные значения $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname{tg}\alpha $.
2. Верно и обратное: для большинства «красивых» $\sin \alpha $, $\cos \alpha $ и т.д. нельзя подобрать подходящий угол $\alpha $.

Звучит немного непонятно, поэтому разберём каждый пункт на конкретных примерах.

3.1. Три стандартных угла

Существует лишь три острых угла, для которых легко считаются синусы, косинусы и т.д. Это 30°, 45°, 60°. Вот их синусы, косинусы и тангенсы:

\[\begin{array}{c|ccc} \alpha& 30{}^\circ& 45{}^\circ & 60{}^\circ \\ \hline\sin \alpha & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos \alpha & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ \operatorname{tg}\alpha& \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} \\ \end{array}\]

Чтобы понять, чем эти углы такие особенные, просто посчитаем все эти синусы, косинусы и тангенсы. Начнём с $\alpha =45{}^\circ $. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. Мы уже встречались с ним:

Поскольку в равнобедренном треугольнике $\angle A=\angle B=45{}^\circ $, получим:

\[\begin{align}\sin 45{}^\circ &=\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos 45{}^\circ &=\sin A=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \operatorname{tg}45{}^\circ&=\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{1}=1 \end{align}\]

Это именно те значения, которые указаны в таблице!

Теперь разберёмся с углами $\alpha =30{}^\circ $ и $\alpha =60{}^\circ $. Здесь рассуждения будут чуть сложнее. Сначала рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB=2$ (просто так удобнее) и проведём высоту $BH$:

Мы знаем, что высота $BH$ — ещё и медиана, и биссектриса. Поэтому $AH=CH=1$, $\angle ABH=\angle CBH=30{}^\circ $.

Следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный, да ещё и с острыми углами 30° и 60°. По теореме Пифагора легко найти $BH=\sqrt{3}$. Нанесём все данные на чертёж:

Разберёмся с углом 60°:

\[\begin{align} \sin{60}^\circ &=\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos{60}^\circ&=\cos A=\frac{AH}{AB}=\frac{1}{2} \\ \operatorname{tg}{60}^\circ&=\operatorname{tg}A=\frac{BH}{AH}=\sqrt{3} \\ \end{align}\]

И с углом 30°:

\[\begin{align} \sin{30}^\circ &=\sin ABH=\frac{AH}{AB} =\frac{1}{2} \\ \cos{30}^\circ &=\cos ABH=\frac{BH}{AB} =\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \operatorname{tg}{30}^\circ &=\operatorname{tg} ABH=\frac{AH}{BH} =\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \end{align}\]

Попробуйте повторить все эти рассуждения самостоятельно. Это очень полезное упражнение!

Возникает вопрос: как быть с другими углами? Например, можно ли найти $\sin {50}^\circ $? Или, быть может, $\cos {10}^\circ $? Спойлер: можно, но это будут очень громоздкие выражения. И у нас пока не хватает технологий, чтобы их найти.

Поэтому идём дальше и посмотрим на ситуацию с другой стороны: как подобрать угол к заданному синусу, косинусу, тангенсу?

3.2. Что с другими углами?

Взгляните ещё раз на «классический» прямоугольный треугольник, с которого мы начинали наши рассуждения:

Катеты 4 и 3, гипотенуза 5 — вполне обычный треугольник. Для него можно посчитать, например, синус острого угла $\alpha $:

\[\sin \alpha =\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}=0,6\]

Итак, мы знаем синус. Внимание, вопрос: каким должен быть угол $\alpha $, чтобы $\sin \alpha =0,6$? Сколько градусов должно быть в угле $\alpha $? Ответ: неизвестно.:)

Точнее, правильнее сказать, что у нас пока нет технологий, позволяющих найти такой угол $\alpha $, чтобы $\sin \alpha =0,6$. Хотя такой угол точно есть, ведь мы предъявили треугольник, в котором он присутствует.

Из всех этих рассуждений сделаем важный вывод. В тригонометрии мы:

• Либо берём угол и считаем для него синусы, косинусы и т.д. Но лишь для трёх острых углов — 30°, 45°, 60° — всё будет считаться быстро и красиво. Такие углы называются табличными.
• Либо берём синус, косинус или тангенс и для него пытаемся подобрать острый угол. Но лишь для табличных значений мы сможем подобрать такие углы. И да: это будут углы 30°, 45°, 60°.

Ещё раз:

Мы можем посчитать лишь синус, косинус и тангенс для трёх табличных углов.

Например, $\sin 30{}^\circ $, $\cos 45{}^\circ $, $\operatorname{tg}60{}^\circ $ и т.д. А всякие $\sin 15{}^\circ $, $\cos 25{}^\circ $ или $\operatorname{tg}89,5{}^\circ $ — не сможем. По крайней мере пока.:)

И наоборот:

Зная $\sin \alpha $, $\cos \alpha $ или $\operatorname{tg}\alpha $, мы сможем назвать точный угол $\alpha $ только в том случае, если все эти синусы, косинусы и тангенсы — среди табличных значений.

Например, мы точно знаем, что если $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\alpha =45{}^\circ $. Но когда $\sin \alpha =0,6$, мы уже не можем назвать угол $\alpha $ (хотя всегда можем построить такой угол).

С этой мыслью мы и переходим к следующему пункту — свойства тригонометрических выражений.

4. Свойства синуса, косинуса, тангенса

Мы разберём три ключевых свойства:

1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом.
2. Связь между острыми углами прямоугольного треугольника.
3. Основное тригонометрическое тождество.

Свойствам 2 и 3 далее в курсе будут посвящены отдельные уроки. Но основные идеи полезно взять на вооружение уже сейчас.

4.1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha $:

Выразим синус, косинус:

\[\sin \alpha =\frac{a}{c};\quad \cos \alpha =\frac{b}{c}\]

А теперь выразим тангенс и заметим, что

\[\operatorname{tg}\alpha =\frac{a}{b}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\]

Точно так же можно выразить и котангенс:

\[\operatorname{ctg}\alpha =\frac{b}{a}=\frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\]

Более того, сам тангенс и котангенс тоже связаны:

\[\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha =\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1\]

Мы получили три важнейших тригонометрических формулы:

Основные формулы тригонометрии:

\[\operatorname{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha };\quad \operatorname{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha };\quad \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha =1\]

Эти формулы нужно знать наизусть. И понимать, откуда они берутся.

4.2. Связь между острыми углами

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C=90{}^\circ $. Пусть градусная мера $\angle A=\alpha $ градусов:

Мы помним, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому если $\angle A=\alpha $, то угол $\angle B=90{}^\circ -\alpha $. Но тогда:

\[\sin \alpha =\sin A=\frac{BC}{AB}=\cos B=\cos \left( 90{}^\circ -\alpha \right)\]

То же самое и с косинусами:

\[\cos \alpha =\cos A=\frac{AC}{AB}=\sin B=\sin \left( 90{}^\circ -\alpha \right)\]

И даже с тангенсами и котангенсами:

\[\begin{align} \operatorname{tg}\alpha&=\operatorname{tg}A=\frac{BC}{AC} =\operatorname{ctg}B=\operatorname{ctg}\left( {90}^\circ -\alpha\right) \\ \operatorname{ctg}\alpha&=\operatorname{ctg}A=\frac{AC}{BC} = \operatorname{tg}B=tg\left( {90}^\circ -\alpha \right) \\ \end{align}\]

Другими словами, если вместо $\alpha $ поставить ${90}^\circ -\alpha $, то исходная тригонометрическая функция поменяется на ко-функцию:

\[\begin{align}\sin \left( {90}^\circ-\alpha\right) &=\cos \alpha \\ \cos \left( {90}^\circ-\alpha\right) &=\sin \alpha \\ \operatorname{tg}\left( {90}^\circ-\alpha\right) &=\operatorname{ctg}\alpha\\ \operatorname{ctg}\left( {90}^\circ-\alpha\right) &=\operatorname{tg}\alpha\end{align}\]

Но это ещё не всё. Есть гораздо более интересная формула.

4.3. Основное тригонометрическое тождество

Вновь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha $:

Запишем выражения для $\sin \alpha $ и $\cos \alpha $:

\[\sin \alpha =\frac{a}{c};\quad \cos \alpha =\frac{b}{c}\]

Далее заметим, что

\[\begin{align} {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha&={{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{c} \right)}^{2}}= \\ & =\frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}} +\frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}= \\ & =\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}} \end{align}\]

В числителе можем применить теорему Пифагора: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$, поэтому

\[{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =\frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1\]

Правая часть этой формулы вообще не зависит от угла $\alpha $.

Основное тригонометрическое тождество:

\[{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\]

Это равенство связывает синус и косинус одного и того же угла и верно для всех $\alpha $.

С помощью основного тригонометрического тождества можно вычислять косинус, зная синус, и наоборот.

Задача 7. Найдите $18\cos \alpha $ для острого угла $\alpha $, если $\sin \alpha =\frac{\sqrt{65}}{9}$.

Решение. Запишем основное тригонометрическое тождество:

\[{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\]

Подставим указанное значение $\sin \alpha $ и выразим $\cos \alpha $:

\[\begin{align}{{\left( \frac{\sqrt{65}}{9} \right)}^{2}}+{{\cos }^{2}}\alpha &=1 \\ \frac{65}{81}+{{\cos }^{2}}\alpha &=1 \\ {{\cos }^{2}}\alpha &=\frac{16}{81} \\ \cos \alpha&=\pm \frac{4}{9} \end{align}\]

Поскольку косинус угла в прямоугольном треугольнике не может быть отрицательным, выбираем вариант $\cos \alpha ={4}/{9}\;$. Остаётся сделать финальный шаг:

\[18\cos \alpha =18\cdot \frac{4}{9}=2\cdot 4=8\]

Вот и всё! Ответ: 8.

В следующем примере мы уже не будем подробно расписывать каждый шаг. Оформим всё так, как надо оформлять на контрольных и экзаменах.

Задача 8. Найдите $48\operatorname{tg}\alpha $ для острого угла $\alpha $, если $\cos \alpha =\frac{8}{\sqrt{113}}$.

Решение. Найдём $\sin \alpha $:

\[\begin{align}{{\sin }^{2}}\alpha &=1-{{\cos }^{2}}\alpha = \\ & =1-{{\left( \frac{8}{\sqrt{113}} \right)}^{2}}= \\ & =1-\frac{64}{113}=\frac{49}{113} \\ \sin \alpha&=\pm \frac{7}{\sqrt{113}} \end{align}\]

Но ${0}^\circ \lt \alpha \lt {90}^\circ $, поэтому $\sin \alpha \gt 0$. Следовательно

\[\sin \alpha =\frac{7}{\sqrt{113}}\]

Найдём $\operatorname{tg}\alpha $:

\[\operatorname{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{7}{\sqrt{113}}\cdot \frac{\sqrt{113}}{8}=\frac{7}{8}\]

Окончательный ответ:

\[48\operatorname{tg}\alpha =48\cdot \frac{7}{8}=6\cdot 7=42\]

Ответ: 42.

Заметка на будущее: замечание о том, что угол $\alpha $ острый, весьма существенно. То, как мы сейчас определяем синусы, косинусы и тангенсы (через прямоугольный треугольник), называется геометрической тригонометрией. Её проходят в 8—9 классе.

Но в 10—11 классах появится алгебраическая тригонометрия, где синусы, косинусы и т.д. вполне могут быть отрицательными. И уже не получится просто так избавиться от минуса.

Но всё это будет чуть позже. А сейчас потренируемся.

Задача 9. ►

Найдите $52\cos \alpha $ для острого угла $\alpha $, если $\sin \alpha =\frac{5}{13}$.

Решение. Найдём $\cos \alpha $:

\[\begin{align}{{\cos }^{2}}\alpha &=1-{{\sin }^{2}}\alpha = \\ &=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169} \\ \cos \alpha&=\pm \frac{12}{13} \end{align}\]

Поскольку $\cos \alpha \gt 0$ для острых $\alpha $, выбираем $\cos \alpha ={12}/{13}\;$. Итого

\[52\cos \alpha =52\cdot \frac{12}{13}=48\]

Ответ: 48.

Задача 10. ►

Найдите $1+2\operatorname{tg}\alpha $ для острого угла $\alpha $, если $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{26}}$.

Решение. Найдём $\sin \alpha $:

\[\begin{align}{{\sin }^{2}}\alpha &=1-{{\cos }^{2}}\alpha = \\ & =1-\frac{1}{26}=\frac{25}{26} \\ \sin \alpha&=\pm \frac{5}{\sqrt{26}} \end{align}\]

Поскольку $\sin \alpha \gt 0$ для острых $\alpha $, выбираем

\[\sin \alpha =\frac{5}{\sqrt{26}}\]

Считаем $\operatorname{tg}\alpha $:

\[\operatorname{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{5}{\sqrt{26}}\cdot \frac{\sqrt{26}}{1}=5\]

Откуда

\[1+2\operatorname{tg}\alpha =1+2\cdot 5=11\]

Ответ: 11.

5. Тригонометрия на координатной сетке

Задачи, которые мы сейчас разберём, вполне могут встретиться в ОГЭ и даже ЕГЭ. Часто в них нет прямоугольного треугольника — есть лишь угол, в который этот треугольник предлагается вписать.

Для решения задач на координатной сетке достаточно посмотреть, через какие узлы сетки проходят интересующие нас лучи. И понять, какие из этих узлов имеет смысл соединить дополнительными построениями.

Звучит страшно, но на практике всё легко.:)

Задача 11. Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:

Решение. Дополнительное построение: $AH\bot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ на луч $BC$.

Треугольник $BAH$ — прямоугольный, причём угол $ABC$ — один из его острых углов. Поэтому

\[\operatorname{tg}ABC=\frac{AH}{BH}=\frac{3}{4}=0,75\]

Это и есть искомый тангенс.

Ответ: 0,75.

Ещё раз: важно, чтобы основание перпендикуляра попадало в узел сетки. Иначе нахождение длины катетов резко усложняется. Попробуйте сами:

Задача 12. ►

Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:

Решение.

Дополнительное построение: $AH\bot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ к лучу $BC$.

Треугольник $BAH$ — прямоугольный с острым углом $ABC$. Поэтому

\[\operatorname{tg}ABC=\frac{AH}{BH}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]

Ответ: 0,5.

Разумеется, это были совсем простые задачи. Потому что один из лучей был параллелен линиям сетки.

Куда интереснее (и полезнее) рассмотреть ситуации, где лучи направлены под углом к сетке. Суть та же: ищем и соединяем узлы на лучах. Но тут уже нужна наблюдательность.

Задача 13. Найдите тангенс угла $MNK$, изображённого на координатной сетке:

Решение. Луч $KN$ содержит лишь две точки в узлах координатной сетки — собственно, $K$ и $N$. Понятно, что если продолжить луч за точку $K$, мы найдём ещё много таких точек, но будем решать задачу с тем, что есть.

Заметим, что прямая $MN$ наклонена к линиям сетки под углом 45° и образует диагонали квадратов. Это значит, что перпендикуляр к ней тоже будет наклонён под углом 45°.

Дополнительное построение: отрезок $KH$ — диагональ одного из квадратов сетки.

Очевидно, что угол $NHK$ прямой, поэтому треугольник $KHN$ прямоугольный и содержит искомый острый угол $MNK$. Находим тангенс:

\[\operatorname{tg}MNK=\frac{HK}{HN}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}=0,5\]

Здесь мы предположили, что сторона квадрата сетки равна 1. Но с тем же успехом можно считать, что сторона квадрата $a$:

\[\operatorname{tg}MNK=\frac{HK}{HN}=\frac{a\sqrt{2}}{2a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}=0,5\]

Ответ: 0,5.

Подобные задачи считаются довольно сложными. По статистике большинство выпускников 9 классов не способны их решать. Но вы-то теперь точно справитесь. Попробуйте:

Задача 14. ►

Найдите тангенс угла $DEF$, изображённого на координатной сетке:

Решение.

Дополнительное построение: отрезок $DH$.

Очевидно, $EH=DH$, угол $EHD$ прямой. Следовательно, треугольник $EDH$ — прямоугольный и равнобедренный. Поэтому $\operatorname{tg}DEF=1$.

Либо можно посчитать «напролом», полагая, что сторона квадрата сетки равна $a$:

\[\operatorname{tg}DEF=\frac{a\sqrt{10}}{a\sqrt{10}}=1\]

Ответ: 1.

Вообще, поиск «правильных» узлов на координатной сетке — это своего рода искусство. И если углубляться в эту тему, то можно быстро выйти на «полуолимпиадные» задачи.

К тому же не существует «самого правильного» дополнительного построения. Задачу на координатной сетке всегда можно решить множеством различных способов. Так, в последнем примере можно было провести перпендикуляр вот так:

И даже так (хотя вряд ли этот способ можно назвать рациональным):

Во всех случаях ответ будет один и тот же. Поэтому не бойтесь экспериментировать. И переходите к следующему уроку — к действительно важным и полезным свойствам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.:)

1. Радианная и градусная мера угла
2. Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов