Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются продолжениями сторон другого.
На рисунке ниже пересекаются две прямые: $AB$ и $MN$:
В результате образуются две пары вертикальных углов: $\angle ASM$ и $\angle BSN$, а также $\angle ASN$ $\angle BSM$.
Обратите внимание: вертикальные углы образуются только в точке пересечении прямых. Например, углы $ASM$ и $BSN$ на картинке ниже — не вертикальные, даже если они равны:
Если в одной точке пересекается более двух прямых, то вертикальных углов становится очень много:
Я не случайно пометил вертикальные углы одинаковыми дугами. Дело в том, что верна следующая теорема.
2. Основная теорема
Теорема 1. Вертикальные углы всегда равны друг другу.
Доказательство. Рассмотрим «синие» вертикальные $ASN$ и $BSM$. Каждый из них является смежным с углом $BSN$:
Но сумма смежных углов равна 180°, и если $\angle BSN=\color{red}{x}$, то
Углы 2 и 4 вертикальные, поэтому они равны: $\angle 4=\angle 2={46}^\circ $.
Из всех чертежей видно, что при пересечении двух прямых обычно возникает два острых угла и два тупых. Причём острый и тупой угол всегда будут смежными.
Если предположить, что острый угол равен $\color{red}{x}$ градусов, то тупой равен $180-\color{red}{x}$ градусов.
Задача 2. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 68°.
Решение. Пусть острые углы содержат $\color{red}{x}$ градусов. Тогда смежные с ними тупые углы содержат по ${180}^\circ -\color{red}{x}$ градусов.
По условию задачи, разность двух углов равна 68°. Очевидно, речь идёт о смежных углах. Потому что разность вертикальных углов была бы равна нулю. Вычитаем из тупого угла острый и получаем:
Перед тем как переходить к более сложным задачам, рассмотрим ещё одно интересное свойство вертикальных углов.
Теорема 2. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Доказательство. В самом деле, пусть $SC$ и $SD$ — биссектрисы вертикальных углов $ASM$ и $BSN$ соответственно.
Допустим, градусные меры углов $ASM$ и $BSN$ равны $2\color{red}{x}$. Тогда градусные меры всех маленьких углов $ASC$, $BSD$ и т.д. равны $\color{red}{x}$. Но тогда
С другой стороны, углы $ASN$ и $ASM=2\color{red}{x}$ смежные, поэтому
\[2\color{red}{x}+\angle ASN={180}^\circ \]
Итак, угол $\angle CSD={180}^\circ $, т.е. является развёрнутым. А это как раз и означает, что лучи $SC$ и $SD$ являются дополнительными друг другу и образуют прямую.
3. Комбинированные задачи
Рассмотрим несколько более сложных задач. Тут встречаются вертикальные углы, смежные углы, а также перпендикуляры.
Задача 4. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если:
Сумма двух из них равна 110°.
Сумма трёх из них равна 308°.
Решение. Для обоих пунктов будем использовать один и тот же чертёж. Пусть острые вертикальные углы содержат по $\color{red}{x}$ градусов, тогда два других угла содержат по ${180}^\circ -\color{red}{x}$ градусов:
1. Если сумма двух углов равна 110°, то, очевидно, речь идёт о вертикальных углах. Потому что сумма смежных углов всегда равна 180°, а не 110°.
Кроме того, это явно острые углы, иначе их сумма была бы больше 180°. Поэтому
Эту задачу можно решить по-разному. Взгляните ещё раз на чертёж:
Мы знаем, что «большой зелёный угол» содержит 308°. А «полный оборот» содержит 360°. Но чтобы получить полный оборот, нужно добавить к зелёному сектору небольшой угол $\color{red}{x}$. Поэтому
Возможно, такой подход покажется вам более простым и «очевидным».
Заметьте: благодаря введённым обозначениям нам даже не потребовались буквы для обозначения углов.:)
Задача 5. Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 250°. Докажите, что эти углы вертикальные.
Решение. Пусть тупой угол $ACN$ содержит $\color{blue}{x}$ градусов. Тогда смежный с ним угол $BCN$ содержит ${180}^\circ -\color{blue}{x}$ градусов, а вертикальный угол $BCM$ тоже равен $\color{blue}{x}$ градусов:
И это вполне логично, поскольку сумма смежных углов всегда равна 180°. То же самое можно сказать, например, про углы $ACN$ и $ACM$ — они тоже смежные.
Остаётся лишь вариант вертикальных углов $ACN$ и $BCM$. Но эти углы вертикальные, что и требовалось доказать.
В последнем задании мы построили чертёж исходя из следующих соображений. Если искомые углы вертикальные (а именно это мы и пытаемся доказать), то они равны, и каждый из них будет равен 125°. Следовательно, речь идёт о тупых углах, поэтому именно тупые углы мы обозначили за $x$.
Помните: в геометрии важно построить правильный чертёж. И чем сложнее задачи, тем выше требования к качеству чертежей. Иначе на можно просто «не увидеть» алгоритм решения задачи.
Кроме того, в следующих уроках мы будем всё чаще отождествлять углы и их градусные меры. Абсолютно нормально писать и говорить «угол $ABC$ равен $x$» вместо «угол $ABC$ содержит $x$ градусов» — все прекрасно поймут, о чём речь.
