Теорема. Через любую прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Рассмотрим прямую $l$ и точку $M$, не лежащую на этой прямой:
Отметим на прямой $l$ произвольные точки $A$ и $B$:
Точки $A$, $B$, $M$ не лежат на одной прямой. По Аксиоме трёх точек существует плоскость, проходящая через точки $A$, $B$, $M$, и притом только одна. Назовём эту плоскость $\alpha $:
Поскольку точки $A\in \alpha $, $B\in \alpha $, то по Аксиоме о прямой и плоскости прямая $l=AB\subset \alpha $. Итак, мы получили плоскость $\alpha $, которая содержит и прямую $l$, и точку $M$, и эта плоскость единственная.
2. Теорема о пересекающихся прямых
Определение. Две прямые в пространстве называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку.
По сути, это обычные прямые из планиметрии, которые пересекаются в одной точке. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$, то обычно это записывается так:
\[a\cap b=M\]
Теорема. Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
Для доказательства рассмотрим две прямые:
Мы видим, что эти прямые пересекаются в точке $M$. Отметим на прямой $a$ произвольную точку $N$, которая не совпадает с $M$:
По Теореме о прямой и точке, доказанной выше, прямая $b$ и точка $N$ однозначно задают плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha $:
Итак, прямая $b\subset \alpha $. Кроме того, точки $M\in \alpha $, $N\in \alpha $. По Аксиоме о прямой и плоскости заключаем, что прямая $a=MN\subset \alpha $.
Итак, обе прямые лежат в плоскости $\alpha $. Единственность такой плоскости следует из того, что любая плоскость, содержащая пересекающиеся прямые $a$ и $b$, содержит, в частности, прямую $b$ и точку $N$. И по предыдущей теореме через эту прямую и точку проходит лишь одна плоскость.
3. Теорема о параллельных прямых
Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
В стереометрии параллельные прямые выглядят так же, как и в планиметрии:
Если прямые $a$ и $b$ параллельны, то пишут $a\parallel b$.
Теорема. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые $a$ и $b$ в пространстве:
Из определения параллельных прямых следует, что они лежат в одной плоскости. Однако таких плоскостей может быть несколько.
Докажем, что такая плоскость всегда одна. Отметим на прямой $a$ точки $A$ и $B$, на прямой $b$ — точку $C$:
Точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой. По Аксиоме трёх точек через точки $A$, $B$, $C$ проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\alpha $:
Докажем, что это та самая плоскость, в которой лежат прямые $a$ и $b$. Предположим, что это не так, и есть ещё одна плоскость $\beta $, которой также принадлежат прямые $a$ и $b$. Но тогда
\[\begin{align}A & \in a\subset \beta \\ B & \in a\subset \beta \\ C & \in a\subset \beta \\ \end{align}\]
Точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой. По Аксиоме о трёх точках они определяют плоскость однозначно. И мы уже обозначили эту плоскость $\alpha $. Следовательно, плоскости $\alpha $ и $\beta $ — это на самом деле одна и та же плоскость.
4. Способы задания плоскости
Итого плоскость однозначно задаётся любым из четырёх способов:
Тремя точками, не лежащими на одной прямой (Аксиома трёх точек);
Прямой и не лежащей на ней точкой (Теорема о прямой и точке);
Двумя пересекающимися прямыми;
Двумя параллельными прямыми.
Есть и другие способы задать плоскость. Но, во-первых, эти четыре способа прямо следуют из аксиом и не требуют дополнительного обоснования. Можно написать в решении «Две пересекающиеся прямые однозначно задают плоскость» — и этого будет достаточно.
А во-вторых, для большинства стереометрических задач хватит и этих четырёх приёмов. И прямо сейчас мы проверим это в задачах на доказательство.
5. Решение задач
Перед вами шесть на доказательство. Некоторые из них мы будем решать напрямую — через аксиомы и теоремы. Другие докажем методом «от противного» — очень рекомендую освоить его. Это полезный приём для контрольных и экзаменов.
Задача 1
Дана прямая $a$ и точка $B$, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через точку $B$ и пересекающие прямую $a$, лежат в одной плоскости.
Решение. Итак, дана прямая $a$ и точка $B$, не лежащая на этой прямой.
1. По теореме о прямой и точке существует плоскость, проходящая через эту прямую и точку, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\alpha $.
2. Пусть некоторая прямая проходит через точку $B$ и пересекает прямую $a$ в точке $N$:
3. Поскольку точка $B\in \alpha $, $N\in \alpha $, по Аксиоме прямой на плоскости заключаем, что прямая $BN\subset \alpha $, что и требовалось доказать.
Задача 2
Прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $C$. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку $C$ и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку $C$?
Решение. По условию задачи, нам даны прямые $a$ и $b$, причём $a\cap b=C$.
1. По Теореме о пересекающихся прямых заключаем, что прямые $a$ и $b$ однозначно задают плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha $.
2. Рассмотрим произвольную прямую, которая пересекает исходную прямую $a$ в точке $N$ и прямую $b$ в точке $N$:
4. Поскольку точки $M$ и $N$ лежат на плоскости $\alpha $, по Аксиоме о прямой на плоскости заключаем, что прямая $MN\subset \alpha $, что и требовалось доказать.
Однако всё это верно лишь при условии, что точки $M$ и $N$ отличны от точки $C$. В противном случае возможен такой вариант:
Прямая $CK$ проходит через некую точку $K$, не лежащую на плоскости $\alpha $. Она всё так же пересекает прямые $a$ и $b$, однако не лежит в одной плоскости вместе с ними.
Задача 3
Через точку пересечения прямых $AB$ и $AC$ проведена прямая $m$, не лежащая с ними в одной плоскости. Докажите, что прямые $m$ и $BC$ не пересекаются.
Решение. Мы уже знаем по Теореме о пересекающихся прямых, что прямые $AB$ и $AC$ однозначно задают плоскость, которая обозначена $\alpha $.
1. Рассмотрим прямую $m$, которая пересекает плоскость $\alpha $ в точке $A$. Докажем, что прямая $m$ никогда не пересечёт прямую $BC$, какими бы ни были точки $B$ и $C$.
2. Предположим обратное: пусть $m\cap BC=N$. Поскольку $N\in BC\subset \alpha $, точка $N$ лежит на плоскости $\alpha $.
3. Заметим, что точки $A\in \alpha $ (по условию), $M\in \alpha $ (доказано в п. 2). По Аксиоме о прямой на плоскости заключаем, что прямая $m=AN\subset \alpha $. Получили противоречие с условием задачи. Утверждение доказано.
Задача 4
Прямые $a$ и $b$ не лежат в одной плоскости. Прямые $m$ и $n$ пересекают каждую из прямых $a$ и $b$ в попарно различных точках. Верно ли, что прямые $m$ и $n$ не пересекаются?
Решение. Это задача с открытым вопросом, которая требует исследования.
1. Предположим, что прямые $m$ и $n$ пересекаются в точке $F$:
2. По теореме о пересекающихся прямых получаем, что прямые $m=AB$ и $n=MN$ однозначно задают плоскость. Назовём эту плоскость $\alpha $:
3. Поскольку точки $A\in \alpha $, $M\in \alpha $, по Аксиоме о прямой на плоскости заключаем, что прямая $a=AM\subset \alpha $.
4. Аналогично для точек $B\in m$, $N\in \alpha $ получаем, что прямая $b=BN\subset \alpha $.
5. Из пунктов 3 и 4 получаем, что прямые $a\subset \alpha $, $b\subset \alpha $, что противоречит условию задачи. Следовательно, наша гипотеза неверна, и прямые $m$ и $n$ на самом деле не пересекаются.
Большинство учеников, читая эту задачу в первый раз, впадают в ступор и не понимают, что с ней делать. В этих случаях помогает простая картинка, которую мы и нарисовали в самом начале решения.
Когда картинка готова, остаётся лишь рассматривать разные варианты и проверять, не противоречат ли они исходному условию. Это классический «метод перебора», который прекрасно работает и в алгебре, и в геометрии.
Задача 5
Точка $M$ лежит вне плоскости, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$. Может ли четырёхугольник $ABCM$ быть трапецией? Ответ обоснуйте.
Решение. 1. Для начала рассмотрим тривиальный вариант, когда точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой. В этом случае $ABCM$ — точно не трапеция. Это либо треугольник, либо вообще отрезок (когда точка $M$ лежит на прямой $AB$).
2. Пусть теперь точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой. Тогда по Аксиоме трёх точек они однозначно задают плоскость $ABC=\alpha $. По условию задачи есть точка $M\notin \alpha $:
3. Предположим, что четырёхугольник $ABCM$ — трапеция. В этом случае, либо $AB\parallel MC$, $AM\parallel BC$.
4. Рассмотрим случай, когда $AM\parallel BC$. По Теореме о параллельных прямых заключаем, что прямые $AM$ и $BC$ однозначно задают плоскость. Однако среди точек этой плоскости будут точки $A$, $B$, $C$, которые согласно Аксиоме плоскости тоже однозначно задают плоскость. Эта плоскость обозначена $\alpha $.
5. Получается, что плоскости $\alpha $ и $ABCM$ — это одна и та же плоскость. Поэтому точка $M\in \alpha $, что противоречит условию задачи. Следовательно, прямые $AM$ и $BC$ не могут быть параллельны.
6. Аналогично доказывается, что прямые $AB$ и $CM$ не могут быть параллельны. Следовательно, четырёхугольник $ABCM$ не может быть трапецией.
Задача 6
Докажите, что через точку пересечения диагоналей трапеции и середины её оснований можно провести более чем одну плоскость.
Решение. Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $F$ — точка пересечения диагоналей, точки $M$ и $N$ — середины оснований $AD$ и $BC$ соответственно.
1. Дополнительное построение: отрезки $FM$ и $FN$.
2. Докажем, что точки $F$, $N$, $M$ лежат на одной прямой. Для этого рассмотрим треугольники $AFD$ и $CFB$. Поскольку $AD\parallel BC$, углы $DAC$ и $BCA$ являются внутренними накрест лежащими при секущей $AC$. Следовательно, они равны:
\[\angle DAC=\angle BCA\]
3. Углы $AFD$ и $BFC$ являются вертикальными. Они тоже равны:
\[\angle AFC=\angle BFC\]
4. Итак, в треугольниках $AFD$ и $CFB$ есть два соответственно равных угла. Следовательно, эти треугольники подобны:
\[\Delta AFD\sim\Delta CFB\]
5. Из подобия треугольников следует, что
\[\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CB}\]
С другой стороны, точки $M$ и $N$ делят отрезки $AD$ и $BC$ пополам, поэтому
6. Рассмотрим треугольники $AFM$ и $CFN$. Углы $DAC$ и $BCA$ равны (доказано в п. 2), а прилежащие к этим углам стороны пропорциональны (доказано в п. 5):
\[\frac{AF}{CF}=\frac{AM}{CN}\]
Следовательно, треугольники $AFM$ и $CFN$ подобны по углу и пропорциональным прилежащим сторонам:
\[\Delta AFM\sim\Delta CFN\]
7. Из подобия треугольников следует, что соответственные углы равны. В частности. Равны углы $AFM$ и $CFN$:
8. Рассмотрим равные углы $AFM$ и $CFN$. Их стороны $FA$ и $FC$ являются продолжением друг друга.
Поскольку сами углы равны (доказано в п. 7), стороны $FM$ и $FN$ также являются продолжениями друг друга. Следовательно углы $AFM$ и $CFN$ являются вертикальными, а точки $M$, $F$, $N$ лежат на одной прямой.
Через прямую $MN$ можно провести сколь угодно много плоскостей, что и требовалось доказать.
Промежуточный итог
Последнее решение — яркий пример того, как стереометрия сводится к планиметрии. «Чисто стереометрических» теорем на самом деле совсем немного. И скоро мы изучим их все.:)
