Этим видео я начинаю цикл уроков, посвящённых системам уравнений. Сегодня мы поговорим о решении систем линейных уравнений методом сложения — это один из самых простых способов, но одновременно и один из самых эффективных.
Способ сложения состоит из трёх простых шагов:
Если всё сделать правильно, то на выходе мы получим одно-единственное уравнение с одной переменной — решить его не составит труда. Затем останется лишь подставить найденный корень в исходную система и получить окончательный ответ.
Однако на практике всё не так просто. Причин тому несколько:
Чтобы получить ответ на эти вопросы, а заодно разобраться с несколькими дополнительными тонкостями, на которых «заваливаются» многие ученики, смотрите мой видеоурок:
Этим уроком мы начинаем цикл лекций, посвященный системам уравнений. А начнем мы из самых простых из них, а именно из те, которые содержат два уравнения и две переменных. Каждое из них будет являться линейным.
Системы — это материал 7-го класса, но этот урок также будет полезен старшеклассникам, которые хотят освежить свои знания в этой теме.
Вообще, существует два метода решения подобных систем:
Сегодня мы займемся именно первым методом — будем применять способ вычитания и сложения. Но для этого нужно понимать следующий факт: как только у вас есть два или более уравнений, вы вправе взять любые два из них и сложить друг с другом. Складываются они почленно, т.е. «иксы» складываются с «иксами» и приводятся подобные, «игреки» с «игреками» — вновь приводятся подобные, а то, что стоит справа от знака равенства, также складывается друг с другом, и там тоже приводятся подобные.
Результатами подобных махинаций будет новое уравнение, которое, если и имеет корни, то они обязательно будут находиться среди корней исходного уравнения. Поэтому наша задача — сделать вычитание или сложение таким образом, чтобы или $x$, или $y$ исчез.
Как этого добиться и каким инструментом для этого пользоваться — об этом мы сейчас и поговорим.
Итак, учимся применять метод сложения на примере двух простейших выражений.
\[\left\{ \begin{align}& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end{align} \right.\]
Заметим, что у $y$ коэффициент в первом уравнении $-4$, а во втором — $+4$. Они взаимно противоположны, поэтому логично предположить, что если мы их сложим, то в полученной сумме «игреки» взаимно уничтожатся. Складываем и получаем:
\[12x=24\]
Решаем простейшую конструкцию:
\[x=2\]
Прекрасно, мы нашли «икс». Что теперь с ним делать? Мы вправе подставить его в любое из уравнений. Подставим в первое:
\[5\cdot 2-4y=22\]
\[10-4y=22\]
Решаем:
\[-4y=22-10\]
\[-4y=12\left| :\left( -4 \right) \right.\]
\[y=-3\]
Ответ: $\left( 2;-3 \right)$.
\[\left\{ \begin{align}& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end{align} \right.\]
Здесь полностью аналогичная ситуация, только уже с «иксами». Сложим их:
\[0-10y=-30\]
Мы получили простейшее линейное уравнение, давайте решим его:
\[y=3\]
Теперь давайте найдем $x$:
\[6x-11\cdot 3=-5\]
\[6x=-51+33\]
\[6x=-18\]
\[x=-3\]
Ответ: $\left( -3;3 \right)$.
Итак, только что мы решили две простейших системы линейных уравнений методом сложения. Еще раз ключевые моменты:
В следующих задачах мы рассмотрим прием вычитания, когда коэффициенты не противоположны.
\[\left\{ \begin{align}& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end{align} \right.\]
Заметим, что противоположных коэффициентов здесь нет, однако есть одинаковые. Поэтому вычитаем из первого уравнения второе:
\[10x-\left( -6x \right)-3y-\left( -3y \right)=5-\left( -27 \right)\]
\[10x+6x-3y+3y=5+27\]
\[16x=32\left| :16 \right.\]
\[x=2\]
Теперь подставляем значение $x$ в любое из уравнений системы. Давайте в первое:
\[10\cdot 2-3y=5\]
\[20-5=3y\]
\[15=3y\]
\[y=5\]
Ответ: $\left( 2;5 \right)$.
\[\left\{ \begin{align}& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end{align} \right.\]
Мы снова видим одинаковый коэффициент $5$ при $x$ в первом и во втором уравнении. Поэтому логично предположить, что нужно из первого уравнения вычесть второе:
\[0+6y=-22+4\]
\[6y=-18\left| :6 \right.\]
\[y=-3\]
Одну переменную мы вычислили. Теперь давайте найдем вторую, например, подставив значение $y$ во вторую конструкцию:
\[5x-2\cdot \left( -3 \right)=-4\]
\[5x+6=-4\]
\[5x=-4-6\]
\[5x=-10\left| :5 \right.\]
\[x=-2\]
Ответ: $\left( -3;-2 \right)$.
Итак, что мы видим? По существу, схема ничем не отличается от решения предыдущих систем. Отличие только в том, что мы уравнения не складываем, а вычитаем. Мы проводим алгебраическое вычитание.
Другими словами, как только вы видите систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, первое, на что вам необходимо посмотреть — это на коэффициенты. Если они где-либо одинаковые, уравнения вычитаются, а если они противоположные — применяется метод сложения. Всегда это делается для того, чтобы одна из них исчезла, и в итогом уравнении, которая осталась после вычитания, осталась бы только одна переменная.
Разумеется, это еще не все. Сейчас мы рассмотрим системы, в которых уравнения вообще несогласованны. Т.е. нет в них таких переменных, которые были бы либо одинаковые, либо противоположные. В этом случае для решения таких систем применяется дополнительный прием, а именно домножение каждого из уравнений на специальный коэффициент. Как найти его и как решать вообще такие системы, сейчас мы об этом и поговорим.
\[\left\{ \begin{align}& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end{align} \right.\]
Мы видим, что ни при $x$, ни при $y$ коэффициенты не только не взаимно противоположны, но и вообще никак не соотносятся с другим уравнением. Эти коэффициенты никак не исчезнут, даже если мы сложим или вычтем уравнения друг из друга. Поэтому необходимо применить домножение. Давайте попытаемся избавиться от переменной $y$. Для этого мы домножим первое уравнение на коэффициент при $y$ из второго уравнения, а второе уравнение — при $y$ из первого уравнения, при этом не трогая знак. Умножаем и получаем новую систему:
\[\left\{ \begin{align}& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end{align} \right.\]
Смотрим на нее: при $y$ противоположные коэффициенты. В такой ситуации необходимо применять метод сложения. Сложим:
\[37x=148\]
\[x=4\]
Теперь необходимо найти $y$. Для этого подставим $x$ в первое выражение:
\[5\cdot 4-9y=38\]
\[20-9y=38\]
\[-9y=18\left| :\left( -9 \right) \right.\]
\[y=-2\]
Ответ: $\left( 4;-2 \right)$.
\[\left\{ \begin{align}& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end{align} \right.\]
Вновь коэффициенты ни при одной из переменных не согласованы. Домножим на коэффициенты при $y$:
\[\left\{ \begin{align}& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end{align} \right.\]
\[\left\{ \begin{align}& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end{align} \right.\]
Наша новая система равносильна предыдущей, однако коэффициенты при $y$ являются взаимно противоположными, и поэтому здесь легко применить метод сложения:
\[118x=-136\]
\[x=-2\]
Теперь найдем $y$, подставив $x$ в первое уравнение:
\[11\cdot \left( -2 \right)+4y=-18\]
\[-22+4y=-18\]
\[4y=4\]
\[y=1\]
Ответ: $\left( -2;1 \right)$.
Ключевое правило здесь следующее: всегда умножаем лишь на положительные числа — это избавит вас от глупых и обидных ошибок, связанных с изменением знаков. А вообще, схема решения довольно проста:
Но даже в таком нехитром алгоритме есть свои тонкости, например, коэффициенты при $x$ или $y$ могут быть дробями и прочими «некрасивыми» числами. Эти случаи мы сейчас рассмотрим отдельно, потому что в них можно действовать несколько иначе, чем по стандартному алгоритму.
\[\left\{ \begin{align}& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end{align} \right.\]
Для начала заметим, что во втором уравнении присутствуют дроби. Но заметим, что можно разделить $4$ на $0,8$. Получим $5$. Давайте второе уравнение домножим на $5$:
\[\left\{ \begin{align}& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end{align} \right.\]
Вычитаем уравнения друг из друга:
\[0-15,5n=62\]
\[n=\frac{65}{-15,5}=-\frac{124}{31}=-4\]
$n$ мы нашли, теперь посчитаем $m$:
\[4m-3\cdot \left( -4 \right)=32\]
\[4m+12=32\]
\[4m=20\]
\[m=5\]
Ответ: $n=-4;m=5$
\[\left\{ \begin{align}& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end{align} \right.\]
Здесь, как и в предыдущей системе, присутствуют дробные коэффициенты, однако ни при одной из переменных коэффициенты в целое число раз друг в друга не укладываются. Поэтому используем стандартный алгоритм. Избавится от $p$:
\[\left\{ \begin{align}& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end{align} \right.\]
Применяем метод вычитания:
\[15,5k=-31\]
\[k=-\frac{31}{15,5}=-\frac{62}{31}=-2\]
Давайте найдем $p$, подставив $k$ во вторую конструкцию:
\[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]
\[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]
\[2p+10=2\]
\[2p=-8\]
\[p=-4\]
Ответ: $p=-4;k=-2$.
Вот и вся оптимизация. В первом уравнении мы не стали домножать вообще ни на что, а второе уравнение домножили на $5$. В итоге мы получили согласованное и даже одинаковое уравнение при первой переменной. Во второй системе мы действовали по стандартному алгоритму.
Но как найти числа, на которые необходимо домножать уравнения? Ведь если домножать на дробные числа, мы получим новые дроби. Поэтому дроби необходимо домножить на число, которое бы дало новое целое число, а уже после этого домножать переменные на коэффициенты, следуя стандартному алгоритму.
В заключение хотел бы обратить ваше внимание на формат записи ответа. Как я уже и говорил, поскольку здесь у нас тут не $x$ и $y$, а другие значения, мы пользуемся нестандартной записью вида:
\[n=-4\]
\[m=5\]
В качестве заключительного аккорда к сегодняшнему видеоуроку давайте рассмотрим пару действительно сложных систем. Их сложность будет состоять в том, что в них и слева, и справа будут стоять переменные. Поэтому для их решения нам придется применять предварительную обработку.
\[\left\{ \begin{align}& 3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4 \\& 6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8 \\\end{align} \right.\]
Каждое уравнение несет в себе определенную сложность. Поэтому с каждым выражением давайте поступим как с обычной линейной конструкцией.
Первая:
\[3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4\]
\[6x-3y+5=-2x-6y+4\]
\[6x-3y+2x+6y=4-5\]
\[8x+3y=-1\]
Вторая:
\[6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8\]
\[6y+6-1=10x-5+8\]
\[6y-10x=-5+8-6+1\]
\[-10x+6y=-2\]
Итого мы получим окончательную систему, которая равносильна исходной:
\[\left\{ \begin{align}& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end{align} \right.\]
Посмотрим на коэффициенты при $y$: $3$ укладывается в $6$ два раза, поэтому домножим первое уравнение на $2$:
\[\left\{ \begin{align}& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end{align} \right.\]
Коэффициенты при $y$ теперь равны, поэтому вычитаем из первого уравнения второе: $$
\[26x=0\]
\[x=0\]
Теперь найдем $y$:
\[3y=-1\]
\[y=-\frac{1}{3}\]
Ответ: $\left( 0;-\frac{1}{3} \right)$
\[\left\{ \begin{align}& 4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11 \\& -3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b \\\end{align} \right.\]
Преобразуем первое выражение:
\[4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11\]
\[4a-12b-2a=3b+12-11\]
\[4a-12b-2a-3b=12-11\]
\[2a-15b=1\]
Разбираемся со вторым:
\[-3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
\[4a-4b=2\]
Итого, наша первоначальная система примет такой вид:
\[\left\{ \begin{align}& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end{align} \right.\]
Посмотрев на коэффициенты при $a$, мы видим, что первое уравнение нужно домножить на $2$:
\[\left\{ \begin{align}& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end{align} \right.\]
Вычитаем из первой конструкции вторую:
\[0-26b=0\]
\[-26b=0\]
\[b=0\]
Теперь найдем $a$:
\[2a-0=1\]
\[a=\frac{1}{2}\]
Ответ: $\left( a=\frac{1}{2};b=0 \right)$.
Вот и все. Надеюсь, этот видеоурок поможет вам разобраться в этой нелегкой теме, а именно в решении систем простых линейных уравнений. Дальше еще будет много уроков, посвященных этой теме: мы разберем более сложные примеры, где переменных будет больше, а сами уравнения уже будут нелинейными. До новых встреч!
