Сегодня мы детально разберём Бином Ньютона. Это формула, по которой можно раскрыть скобки ${{\left( a+b \right)}^{n}}$ и получить готовый многочлен. Сама формула выглядит так:
\[{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}\cdot {{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}\]
где $C_{n}^{k}$ — биноминальные коэффициенты (они же — «число сочетаний из $n$ по $k$»), которые считаются по формуле
\[C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\]
Вот и всё. На этом можно было бы закончить, но есть одно но: большинство начинающих учеников не понимают эту формулу, не умеют пользоваться её, а уж чтобы доказать её — об этом даже речи не идёт.
Сегодня мы всё это исправим. Вы узнаете буквально всё, что нужно знать про Бином Ньютона:
Материала много, но всё будет максимально понятно и — главное — чрезвычайно полезно. Погнали!
Итак, мы хотим быстро раскрывать скобки в конструкциях вида ${{\left( a+b \right)}^{n}}$. Начнём с того, что мы и так знаем. Например:
\[{{\left( a+b \right)}^{1}}=a+b\]
Спасибо, кэп. Теперь вспомним формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы:
\[{{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\]
И куб суммы:
\[{{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\]
Видим, что с ростом степени растёт и количество слагаемых-одночленов: их всегда на одно больше, чем степень. Но это не проблема. Проблема в другом: у этих одночленов появляются некие коэффициенты, принцип вычисления которых не ясен. Пока не ясен...
Именно для нахождения этих коэффициентов придумали бином Ньютона.
Пусть $n\in \mathbb{N}$. Тогда верно равенство
\[{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}\cdot {{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}\]
где $\sum{\left( ... \right)}$ — краткая запись суммы, $C_{n}^{k}$ — биноминальный коэффициент, который считается по формуле
\[C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\]
В этой формуле прекрасно всё. Одних пугает знак суммы. Другие не понимают, что за $C_{n}^{k}$ такое (ещё раз: это объект из мира комбинаторики, читается «число сочетаний из $n$ по $k$»). Третьи более-менее понимают, о чём речь, но применить эту формулу на практике не могут.
Сегодня мы решим все эти проблемы. Начнём со знака суммы.
Знак суммы — это краткая запись суммы нескольких однотипных слагаемых:
\[\sum\limits_{k=a}^{k=b}{f\left( k \right)}\]
Формула $f\left( k \right)$ задаёт общий вид однотипных слагаемых, а нижний и верхний индексы $k=a$ и $k=b$ (сверху вместо $k=b$ обычно пишут просто $b$) определяют диапазон значений, которые «пробегает» $k$ и которые нужно подставить в $f\left( k \right)$. Например:
\[\sum\limits_{k=3}^{5}{2k}=2\cdot 3+2\cdot 4+2\cdot 5\]
Более привычный формат:
\[\sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( k \right)=f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+...+f\left( n \right)}\]
То же самое с индексами:
\[\sum\limits_{k=1}^{n}{{{a}_{k}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}\]
Обратите внимание: если $k$ пробегает значения от $k=a$ до $k=b$, то всего таких слагаемых будет ровно $b-a+1$:
\[\sum\limits_{k=a}^{b}{f\left( k \right)=\underbrace{f\left( a \right)+f\left( a+1 \right)+\ldots +f\left( b \right)}_{b-a+1\text{ слагаемых!}}}\]
Кроме того, полезно потренироваться и с обратным переходом — от полной записи к краткой:
\[\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=\sum\limits_{n=1}^{5}{\frac{1}{2n-1}}\]
\[\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\frac{6}{27}+\frac{8}{81}=\sum\limits_{n=1}^{4}{\frac{2n}{{{3}^{n}}}}\]
В приложении к уроку — куча задач для самостоятельной тренировки.
Но вернёмся к биному Ньютона. Распишем его без знака суммы:
\[\begin{align} {{\left( a+b \right)}^{n}} & =C_{n}^{0}\cdot {{a}^{n}}{{b}^{0}}+C_{n}^{1}\cdot {{a}^{n-1}}{{b}^{1}}+ \\ & +\ldots +C_{n}^{k}\cdot {{a}^{n-k}}{{b}^{k}}+\ldots + \\ & +C_{n}^{n-1}\cdot {{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}\cdot {{a}^{0}}{{b}^{n}} \end{align}\]
В целом, всё понятно: степени буквы $a$ уменьшаются с ${{a}^{n}}$ до ${{a}^{0}}$; одновременно степени буквы $b$ растут с ${{b}^{0}}$ до ${{b}^{n}}$. Сумма степеней этих букв в каждом одночлене равна $n$. Но что такое $C_{n}^{k}$?
Немного комбинаторики.
Определение. Число сочетаний из $n$ по $k$ — это число способов, которыми можно выбрать $k$ элементов среди $n$ элементов, если порядок выбора не имеет значения. Обозначается $C_{n}^{k}$ и считается по формуле
\[C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\]
Обратите внимание: в числителе и знаменателе стоят факториалы. Стандартное определение: $n!$ — это произведение всех чисел от единицы до $n$:
\[n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n\]
У факториалов много интересных свойств. Чуть позже мы рассмотрим их и даже введём более корректное определение самого факториала. А пока просто потренируемся считать биноминальные коэффициенты.
Пример. На пруду плавают 5 уток. Сколькими способами можно выбрать 2 из них, чтобы покормить?
Очевидно, порядок кормления уток неважен. Покормить сначала утку №1, а затем №2 — это то же самое, что покормить сначала утку №2, затем №1. Результат один и тот же: накормлены лишь эти две утки, а остальные три — нет. Поэтому считаем $C_{5}^{2}$:
\[\begin{align} C_{5}^{2} & =\frac{5!}{2!\cdot 3!} \\ & =\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1}= \\ & =10 \end{align}\]
Вот и всё. Однако при больших $n$ и $k$ посчитать число сочетаний напрямую становится затруднительно. Тут на помощь приходит сокращение дробей.
Пример. На пруду 150 уток. Сколькими способами можно выбрать 2 из них, чтобы покормить?
Порядок вновь неважен, просто уток стало больше. Поэтому считаем $C_{150}^{2}$:
\[\begin{align} C_{150}^{2} & =\frac{150!}{2!\cdot 148!}= \\ & =\frac{150\cdot 149\cdot 148\cdot ...\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 148\cdot ...\cdot 1}= \\ & =\frac{150\cdot 149}{2\cdot 1}= \\ & =11175 \end{align}\]
Видим, что факториалы образуют «длинные хвосты» в числителе и знаменателе, которые легко сокращаются. Однако для корректной работы с биномом Ньютона нам потребуется расширить определение факториала.
Стандартное определение мы уже привели выше:
\[n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n,\quad n\in \mathbb{N}\]
Но как посчитать, например, факториал нуля? И как сокращать «длинные хвосты», не расписывая факториалы? Здесь нам поможет более грамотное определение.
Определение. Пусть $n\in \mathbb{N}\bigcup \left\{ 0 \right\}$ — целое неотрицательное число. Тогда факториал считается по формуле:
\[n!=\left\{ \begin{align} & 1,\quad n=0 \\ & n\cdot \left( n-1 \right)!,\quad n \gt 0 \\ \end{align} \right.\]
В частности, $0!=1$ по определению.
Простейшие коэффициенты:
\[\begin{align} C_{n}^{0} & =\frac{n!}{0!\left( n-0 \right)!}=\frac{n!}{1\cdot n!}=1; \\ C_{n}^{1} & =\frac{n!}{1!\left( n-1 \right)!}=\frac{n\cdot \left( n-1 \right)!}{1\cdot \left( n-1 \right)!}=n; \\ \end{align}\]
А вот ещё парочка весёлых примеров:
\[\begin{align} C_{7}^{3} & =\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot \ldots \cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 4\cdot \ldots \cdot 1}=35 \\ C_{8}^{2} & =\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot \ldots \cdot 1}{2\cdot 1\cdot 6\cdot \ldots \cdot 1}=28 \\ C_{64}^{3} & =\frac{64\cdot 63\cdot 62\cdot 61\cdot \ldots \cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 61\cdot \ldots \cdot 1}= \\ & =41664 \end{align}\]
Посчитаем бином Ньютона для $n=0$, $n=1$, $n=2$, $n=3$:
\[\begin{align} & {{\left( a+b \right)}^{0}}=1 \\ & {{\left( a+b \right)}^{1}}=1\cdot a+1\cdot b \\ & {{\left( a+b \right)}^{2}}=1\cdot {{a}^{2}}+2\cdot ab+1\cdot {{b}^{2}} \\ & {{\left( a+b \right)}^{3}}=1\cdot {{a}^{3}}+3\cdot {{a}^{2}}b+3\cdot a{{b}^{2}}+1\cdot {{b}^{3}} \\ \end{align}\]
Составим таблицу:
\[\begin{matrix} 1 \\ 1\quad 1 \\ 1\quad 2\quad 1 \\ 1\quad 3\quad 3\quad 1 \\ 1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1 \\ \end{matrix}\]
Получили треугольник, который в народе называют «Треугольник Паскаля»: по бокам единицы, а внутри каждое число равно сумме двух ближайших, стоящих этажом выше:
\[\begin{align} & 3=1+2 \\ & 4=1+3 \\ & 6=3+3 \\ \end{align}\]
И это не случайность. Перед нами важнейшее свойство биноминальных коэффициентов, которое мы оформим в виде теоремы и докажем.
Теорема. Биноминальные коэффициенты вычисляются по формуле
\[C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}\]
Доказывается напролом.
Распишем доказательство детально:
\[C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}+\frac{n!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k-1 \right)!}\]
\[\begin{align} & C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}= \\ = & \frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}+\frac{n!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k-1 \right)!} \\ \end{align}\]
Заметим, что по определению факториала
\[\begin{align} & \left( k+1 \right)!=\left( k+1 \right)\cdot k! \\ & \left( n-k \right)!=\left( n-k \right)\cdot \left( n-k-1 \right)! \end{align}\]
Поэтому знаменатели биноминальных коэффициентов можно переписать:
\[C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)\left( n-k-1 \right)!}+\frac{n!}{\left( k+1 \right)k!\left( n-k-1 \right)!}\]
\[\begin{align} C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1} & =\frac{n!}{k!\left( n-k \right)\left( n-k-1 \right)!}+ \\ & +\frac{n!}{\left( k+1 \right)k!\left( n-k-1 \right)!} \end{align}\]
Приведём к общему знаменателю:
\[\begin{align} C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1} & =\frac{\left( k+1 \right)\cdot n!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k \right)!}+\frac{\left( n-k \right)\cdot n!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k \right)!}= \\ & =\frac{\left( k+1+n-k \right)\cdot n!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k \right)!}= \\ & =\frac{\left( n+1 \right)\cdot n!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k \right)!} \end{align}\]
\[\begin{align} & C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}= \\ = & \frac{\left( k+1 \right)\cdot n!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k \right)!}+\frac{\left( n-k \right)\cdot n!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k \right)!}= \\ = & \frac{\left( k+1+n-k \right)\cdot n!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k \right)!}=\frac{\left( n+1 \right)\cdot n!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k \right)!} \\ \end{align}\]
Окончательно получим:
\[\begin{align} C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1} & =\frac{\left( n+1 \right)!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k \right)!}= \\ & =\frac{\left( n+1 \right)!}{\left( k+1 \right)!\left( n+1-\left( k+1 \right) \right)!}= \\ & = C_{n+1}^{k+1} \end{align}\]
Теорема доказана. Теперь мы знаем, как формируется треугольник Паскаля. Осталось доказать сам Бином Ньютона.
Итак, нужно доказать, что
\[{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}\cdot {{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}\]
где $C_{n}^{k}$ — биноминальные коэффициенты с теми чудесными свойствами, которые мы рассмотрели и доказали выше.
Будем доказывать по индукции.
Рассмотрим $n=1$. Формула Бинома Ньютона для него:
\[\begin{align} {{\left( a+b \right)}^{1}} & =\sum\limits_{k=0}^{1}{C_{1}^{k}{{a}^{1-k}}{{b}^{k}}}= \\ & =C_{1}^{0}{{a}^{1}}{{b}^{0}}+C_{1}^{1}{{a}^{0}}{{b}^{1}}= \\ & =a+b\end{align}\]
Очевидно, для $n=1$ формула верна. Переходим к индуктивному предположению.
Пусть Бином Ньютона верен для некоторого $n=t$:
\[{{\left( a+b \right)}^{t}}=\sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}\]
Используя этот факт, докажем верность и для $n=t+1$, т.е. выполним индуктивный переход.
Докажем, что бином Ньютона верен для $n=t+1$:
\[{{\left( a+b \right)}^{t+1}}=\sum\limits_{k=0}^{t+1}{C_{t+1}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}\]
Для этого сначала заметим, что
\[{{\left( a+b \right)}^{t+1}}={{\left( a+b \right)}^{t}}\cdot \left( a+b \right)\]
Однако согласно индуктивному предположению, ${{\left( a+b \right)}^{t}}$ допускает разложение по Биному Ньютона, поэтому
\[\begin{align} \left( a+b \right)\cdot {{\left( a+b \right)}^{t}} & =\left( a+b \right)\cdot \sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}= \\ & =a\cdot \sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}+b\cdot \sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}= \\ & =\sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+\sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}} \end{align}\]
\[\begin{align} & \left( a+b \right)\cdot {{\left( a+b \right)}^{t}}= \\ = & \left( a+b \right)\cdot \sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}= \\ = & a\cdot \sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}+b\cdot \sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}= \\ = & \sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+\sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}} \\ \end{align}\]
Запишем отдельно первое слагаемое первой суммы и учтём, что $C_{t}^{0}=C_{t+1}^{0}=1$:
\[\begin{align} \sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} & = C_{t}^{0}\cdot {{a}^{t+1}}+\sum\limits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} \\ & = C_{t+1}^{0}\cdot {{a}^{t+1}}+\sum\limits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} \end{align}\]
\[\begin{align} & \sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}= \\ = & C_{t}^{0}\cdot {{a}^{t+1}}+\sum\limits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} \\ = & C_{t+1}^{0}\cdot {{a}^{t+1}}+\sum\limits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} \\ \end{align}\]
И последнее слагаемое последней второй суммы и учтём, что $C_{t}^{t}=C_{t+1}^{t+1}=1$:
\[\begin{align} \sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}} & =\sum\limits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t}^{t}\cdot {{b}^{t+1}} \\ & =\sum\limits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t+1}^{t+1}\cdot {{b}^{t+1}} \end{align}\]
\[\begin{align} & \sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}= \\ = & \sum\limits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t}^{t}\cdot {{b}^{t+1}} \\ = & \sum\limits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t+1}^{t+1}\cdot {{b}^{t+1}} \\ \end{align}\]
Сейчас будет самая нетривиальная операция. Меняем индекс суммирования в последней сумме: выполняем подстановку $k=m-1$. При этом меняются и пределы суммирования:
\[\left[ \begin{align} k & =m-1 \\ k & =0\Rightarrow m=1 \\ k & =t-1\Rightarrow m=t \\ k+1 & =m \\ t-k & =t+1-m \\ \end{align} \right]\]
В итоге последняя сумма перепишется так:
\[\sum\limits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t+1}^{t+1}\cdot {{b}^{t+1}}=\sum\limits_{m=1}^{t}{C_{t}^{m-1}\cdot {{a}^{t+1-m}}{{b}^{m}}}+C_{t+1}^{t+1}\cdot {{b}^{t+1}}\]
\[\begin{align} & \sum\limits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t+1}^{t+1}\cdot {{b}^{t+1}}= \\ = & \sum\limits_{m=1}^{t}{C_{t}^{m-1}\cdot {{a}^{t+1-m}}{{b}^{m}}}+C_{t+1}^{t+1}\cdot {{b}^{t+1}} \\ \end{align}\]
Объединяем суммы вместе:
\[\begin{align} & \sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+\sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}= \\ = & C_{t+1}^{0}\cdot {{a}^{t+1}}+\sum\limits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+\sum\limits_{m=1}^{t}{C_{t}^{m-1}\cdot {{a}^{t+1-m}}{{b}^{m}}}+C_{t+1}^{t+1}\cdot {{b}^{t+1}} \\ \end{align}\]
\[\begin{align} & \sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+\sum\limits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}= \\ = & C_{t+1}^{0}\cdot {{a}^{t+1}}+\sum\limits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+ \\ + & \sum\limits_{m=1}^{t}{C_{t}^{m-1}\cdot {{a}^{t+1-m}}{{b}^{m}}}+C_{t+1}^{t+1}\cdot {{b}^{t+1}} \\ \end{align}\]
Заметим, что два знака суммы различаются лишь названием индекса и биноминальными коэффициентами. Всё остальное — диапазоны суммирования, степени буквы $a$ и буквы $b$ — всё идеально совпадает и никак не меняется, если написать вместо $k$ индекс $m$ или наоборот.
Такие суммы можно записать под единым знаком:
\[C_{t+1}^{0}\cdot {{a}^{t+1}}+\sum\limits_{k=1}^{t}{\left( C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}+C_{t}^{k-1}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}} \right)}+C_{t+1}^{t+1}\cdot {{b}^{t+1}}\]
\[\begin{align} & C_{t+1}^{0}\cdot {{a}^{t+1}}+ \\ + & \sum\limits_{k=1}^{t}{\left( C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}+C_{t}^{k-1}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}} \right)}+ \\ + & C_{t+1}^{t+1}\cdot {{b}^{t+1}} \\ \end{align}\]
Выражение под знаком суммы легко раскладывается на множители:
\[\begin{align} C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}+C_{t}^{k-1}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}} & =\left( C_{t}^{k}+C_{t}^{k-1} \right)\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}= \\ & =C_{t+1}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}} \end{align}\]
\[\begin{align} & C_{t}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}+C_{t}^{k-1}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}= \\ = & \left( C_{t}^{k}+C_{t}^{k-1} \right)\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}= \\ = & C_{t+1}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}} \\ \end{align}\]
Здесь в последнем шаге мы использовали свойство биноминальных коэффициентов, доказанное выше:
\[C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}\]
Или, что то же самое
\[C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k}=C_{n+1}^{k}\]
Таким образом, всю сумму можно переписать более компактно, а затем внести под знак суммы первое и последнее слагаемое:
\[ C_{t+1}^{0}\cdot {{a}^{t+1}}+\sum\limits_{k=1}^{t}{C_{t+1}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+C_{t+1}^{t+1}\cdot {{b}^{t+1}}=\sum\limits_{k=0}^{t+1}{C_{t+1}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}\]
\[\begin{align} C_{t+1}^{0}\cdot {{a}^{t+1}} & +\sum\limits_{k=1}^{t}{C_{t+1}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+C_{t+1}^{t+1}\cdot {{b}^{t+1}}= \\ & =\sum\limits_{k=0}^{t+1}{C_{t+1}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} \\ \end{align}\]
Сопоставляя исходное выражение и конечное, получим
\[{{\left( a+b \right)}^{t+1}}=\sum\limits_{k=0}^{t+1}{C_{t+1}^{k}\cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}\]
Именно это и требовалось доказать. Следовательно, исходная формула Бинома Ньютона верна.
