Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе:
log k(x) f (x) ∨ log k(x) g(x) ⇒ (f (x) − g(x)) · (k(x) − 1) ∨ 0
Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми.
Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Если вы забыли ОДЗ логарифма, настоятельно рекомендую повторить — см. «Что такое логарифм».
Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно:
f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства — и ответ готов.
Задача. Решите неравенство:
Для начала выпишем ОДЗ логарифма:
Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем:
x2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Получается, что ОДЗ логарифма — все числа, кроме нуля:
Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше». Имеем:
(10 − (x2 + 1)) · (x2 + 1 − 1) < 0;
(9 − x2) · x2 < 0;
(3 − x) · (3 + x) · x2 < 0.
Нули этого выражения:
Получаем
Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами — см. «Основные свойства логарифмов». А именно:
Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая:
Задача. Решите неравенство:
Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма:
Решаем методом интервалов. Находим нули числителя:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Затем — нули знаменателя:
x − 1 = 0;
x = 1.
Отмечаем нули и знаки на координатной стреле:
Получаем
Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их:
log 2 (x − 1)2 < 2;
log 2 (x − 1)2 < log 2 22.
Получили стандартное логарифмическое неравенство. Избавляемся от логарифмов по формуле. Поскольку в исходном неравенстве стоит знак «меньше», полученное рациональное выражение тоже должно быть меньше нуля. Имеем:
(f (x) − g(x)) · (k(x) − 1) < 0;
((x − 1)2 − 22)(2 − 1) < 0;
x2 − 2x + 1 − 4 < 0;
x2 − 2x − 3 < 0;
(x − 3)(x + 1) < 0;
x ∈ (−1; 3).
Получили два множества:
Осталось пересечь эти множества — получим настоящий ответ:
Нас интересует пересечение множеств, поэтому выбираем интервалы, закрашенные на обоих стрелах. Получаем
