Определение 1. Функция $f\left( x \right)$, определённая на множестве $M$, называется чётной, если:
$M$ — симметричное относительно нуля множество.
$f\left( -x \right)=f\left( x \right)$.
Определение 2. Функция $f\left( x \right)$, определённая на множестве $M$, называется нечётной, если:
$M$ — симметричное относительно нуля множество.
$f\left( -x \right)=-f\left( x \right)$.
Определение 3. Во всех остальные случаях, когда функция $f\left( x \right)$ не является ни чётной, ни нечётной, её называют функцией общего вида.
Примеры чётных функций:
Квадратичная: $f\left( x \right)={{x}^{2}}$; любая степенная функция с чётным показателем: ${{x}^{4}}$, ${{x}^{8}},$ да хоть ${{x}^{128}}$.
Модуль: $f\left( x \right)=\left| x \right|$. С модулем будет отдельный разговор — он обращает любую функцию в чётную.
Примеры нечётных функций:
Любая степенная функция с нечётным показателем: $f\left( x \right)={{x}^{3}}$, ${{x}^{5}}$, ${{x}^{2n+1}}$.
Корень третьей степени: $f\left( x \right)=\sqrt[3]{x}$.
Обратная пропорциональность: $f\left( x \right)={1}/{x}\;$.
2. Исследование функции на чётность
Чтобы узнать, является функция чётной или нечётной (или вообще общего вида), нужны две проверки:
Область определения. Если она не симметрична относительно нуля, то функция общего вида. Если симметрична — переходим ко второй проверке.
Зная $f\left( x \right)$, считаем $f\left( -x \right)$ и $-f\left( x \right)$. Если $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)$, то функция нечётная. А если $f\left( -x \right)=f\left( x \right)$, то функция чётная.
Главное, чтобы функция была задана формулой, а не таблицей, графиком или ещё как. Тогда исследование на чётность занимает несколько секунд. Мы сейчас убедимся в этом, но сначала важное замечание.
Что значит «симметричное относительно нуля множество»? Это значит, что если $x\in M$, то и $-x\in M$. Малейшее нарушение этого правила — хотя бы в одной точке — и множество уже не симметрично.
Первые два множества несимметричны всего в одной точке (кстати, какой?). Но этого достаточно, чтобы прекратить исследование и отнести функцию к общему виду.
Разберём несколько примеров. Для начала — стандартный:
Исследуйте на чётность / нечётность функцию
\[f\left( x \right)={{x}^{3}}-4x\]
Эта функция определена для всех действительных чисел: $x\in \mathbb{R}$. Это симметричное относительно нуля множество. Пока всё хорошо.
Считаем $f\left( -x \right)$ и $-f\left( x \right)$:
Это множество несимметрично, поскольку $x=-4$ принадлежит этому множеству, а $x=4$ не принадлежит. Всё: функция $f\left( x \right)$ — общего вида.
Дальше попробуйте сами:
Исследуйте на чётность / нечётность функцию
\[\begin{align} f\left( x \right) & =\frac{x-3}{x-3} \\ g\left( x \right) & =\frac{3}{2+\left| x \right|} \\ k\left( x \right) & ={{\left( 5-x \right)}^{3}}-{{\left( 5+x \right)}^{3}} \\ \end{align}\]
Ответ: $f\left( x \right)$ — общего вида; $g\left( x \right)$ — чётная; $k\left( x \right)$ — нечётная.
Умение быстро определять чётность — чрезвычайно полезный навык. Особенно когда вы начнёте решать задачи с параметрами и всевозможные варианты ДВИ.
3. График чётной и нечётной функции
Всего два факта, которые нужно знать:
Теорема 1. График чётной функции $y=f\left( x \right)$ симметричен относительно оси $OY$.
Теорема 2. График нечётной функции $y=f\left( x \right)$ симметричен относительно начала координат.
Чтобы построить график чётной функции, достаточно построить его правую часть (для $x\ge 0$), а затем симметрично отразить относительно оси $OY$.
С нечётной функцией, на первый взгляд, всё то же самое. Сначала вновь строим правую часть графика (для $x\ge 0$), а затем отражаем её относительно начала координат. Однако практика показывает, что центральная симметрия даётся начинающим ученикам чуть сложнее, чем осевая.
Ниже приведены графики нескольких чётных функций. Попробуйте построить их самостоятельно.
Постройте график функции
\[y=3\left| x \right|-2\]
Функция чётная. Пусть $x\ge 0$. Тогда функция примет вид
\[y=3x-2\]
Это линейная функция. Её график — прямая. С учётом отражения относительно оси $OY$ получим:
Постройте график функции
\[y={{x}^{2}}-2\left| x \right|-1\]
Функция чётная. При $x\ge 0$ видим привычную квадратичную функцию
\[y={{x}^{2}}-2x-1\]
Её график — парабола с вершиной ${{x}_{0}}={-b}/{2a}\;={2}/{2}\;=1$. После отражения получим
Постройте график функции
\[y=\frac{2\left| x \right|+6}{\left| x \right|+1}\]
Функция чётная. При $x\ge 0$ получим привычную рациональную дробь. Выделим целую часть:
\[y=\frac{4}{x+1}+2\]
Это обычная гипербола, сдвинутая на 1 влево и на 2 вверх. Итого получим:
Обратите внимание на последний график. При всяком сдвиге и симметрии желательно показывать не только новое положение самого графика, но и положение всех ориентиров: вспомогательная система координат, вертикальные и горизонтальные асимптоты (особенно актуально для гипербол) и т.д.
Зачем всё это нужно? Исследование функции на чётность и нечётность незаменимо для решения сложных уравнений и задач с параметром:
Графический метод решения задач с параметром;
Метод мажорант;
Вместе с периодичностью используется в тригонометрии.
4. Дополнение. Задачи с параметром
Чётность функций редко встречается сама по себе. Прежде всего это инструмент для решения сложных задач.
Известно, что $f\left( x \right)={{x}^{8}}+a{{x}^{4}}+1$ и $f\left( 2 \right)=353$. Найдите $f\left( -2 \right)$ и значение параметра $a$.
Решение. Очевидно, что функция $f\left( x \right)$ чётная:
