Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x0 имеет конечную производную f (x0). Тогда прямая, проходящая через точку (x0; f (x0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x0), называется касательной.
А что будет, если производная в точке x0 не существует? Возможны два варианта:
Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.
Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:
y = f ’(x0) · (x − x0) + f (x0)
Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.
Задача. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.
Уравнение касательной: y = f ’(x0) · (x − x0) + f(x0). Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f ’(x0) придется вычислять.
Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x) = (x3)’ = 3x2;
Подставляем в производную x0 = 2: f ’(x0) = f ’(2) = 3 · 22 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.
Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x0 = π/2.
В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:
f (x0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x0) = f ’(π/2) = 2cos (π/2) = 0;
Уравнение касательной:
y = 0 · (x − π/2) + 7 ⇒ y = 7
В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.
