Павел Бердов
уроки математики
Павел Бердов16.06.2022, Студентам, средний уровень
Векторная алгебра → Критерий Сильвестра
Позволяет определять: является ли квадратичная функция (а равно и квадратичная форма) положительно определённой, отрицательно определённой или вообще неопределённой. Сформулирован сам Критерий Сильвестра, приведено его доказательство, разобрано несколько ключевых примеров.
15.06.2022, Школьникам, лёгкий уровень
Определение смежных углов, их основное свойство (сумма равна 180 градусов) и комплект задач.
07.06.2022, Студентам, средний уровень
Векторная алгебра → Формула Грассмана
Основная теорема линейной алгебры, связывающая размерности подпространств с размерностями их суммы и пересечения.
18.05.2022, Школьникам, лёгкий уровень
Тригонометрия → Синус, косинус, тангенс и котангенс
Первый и самый важный урок по тригонометрии. Даны ключевые определения и разобрано множество примеров. Также рассмотрены основные свойства синуса, косинуса, тангенса.
08.01.2022, Студентам, средний уровень
Пределы → Теорема об обратной функции
Формулировка и доказательство теоремы: если функция строго возрастает и непрерывна на отрезке, то она обратима. Плюс несколько полезных примеров.:)
08.01.2022, Студентам, сложный уровень
Пределы → Теорема Кантора о равномерной непрерывности
Формулировка и доказательство основной теоремы: функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нём. Плюс обобщённая теорема для равномерной непрерывности на компакте.
07.01.2022, Студентам, сложный уровень
Пределы → Критерий непрерывности монотонной функции
Формулировка и доказательство критерия для функций, монотонных на отрезке. В качестве бонуса — графическая интерпретация самой теоремы и основных идей, на которые опирается доказательство.
06.01.2022, Студентам, сложный уровень
Пределы → Теорема о точках разрыва монотонной функции
Приведена формулировка и подробное доказательство основной теоремы. Плюс куча вспомогательного материала, чтобы не запутаться.
04.01.2022, Студентам, средний уровень
Производные → Производная функции, заданной параметрически
Всё, что нужно знать о производной параметрической функции. Дана основная формула, решено множество примеров, разобраны типичные ошибки и даны рекомендации о том, как этих ошибок избежать.:)
31.12.2021, Студентам, средний уровень
Пределы → Теорема Больцано-Коши
Две теоремы: о нуле функции, непрерывной на отрезке; о промежуточном значении функции. К обеим теоремам приведены доказательства и полезные замечания.
30.12.2021, Студентам, сложный уровень
Пределы → Теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на отрезке
Рассмотрены две теоремы Вейерштрасса: об ограниченности функции и о достижении наибольшего / наименьшего значения. Приведены доказательства и пояснения.
30.12.2021, Студентам, средний уровень
Пределы → Непрерывность функции в точке
Большая статья о непрерывности функции в точке, на интервалах и отрезках, а также о точках разрыва. Все ключевые определения, рассмотрено множество примеров
21.12.2021, Студентам, сложный уровень
Пределы → Критерий Коши сходимости последовательности
Рассмотрено понятие фундаментальной последовательности, приведена формулировка и полное доказательство критерия Коши: при каких обстоятельствах существует у последовательности есть предел
20.12.2021, Студентам, средний уровень
Пределы → Бесконечно малые функции
Дано определение бесконечно малой функции в точке и на бесконечности. Сформулированы все ключевые теоремы об арифметических свойствах бесконечно малых
18.12.2021, Школьникам, сложный уровень
Рассмотрена и доказана ключевая формула — Бином Ньютона. Детально разобраны биноминальные коэффициенты, их свойства, определение факториала и вообще всё, что нужно знать о Биноме Ньютона.
17.12.2021, Студентам, сложный уровень
Пределы → Второй замечательный предел
Основная формула (с доказательством) и важнейшие следствия. Для доказательства желательно знать Бином Ньютона и теорему Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности.
16.12.2021, Студентам, средний уровень
Пределы → Первый замечательный предел
Дана основная формула, детально рассмотрен вывод этой формулы. Плюс основные следствия из неё и ссылки на дополнительные теоремы.
16.12.2021, Студентам, средний уровень
Пределы → Теорема о пределе промежуточной функции
Эту теорему также называют правилом двух милиционеров для функции или теоремой о пределе зажатой функции. Приведена формулировка и доказательство.
12.12.2021, Школьникам, средний уровень
Стереометрия → Теорема о трёх перпендикулярах
Ключевая теорема о перпендикулярности наклонной и проекции с прямой на плоскости. С её помощью решается большинство задач в стереометрии.
11.12.2021, Школьникам, лёгкий уровень
Функции → Чётные и нечётные функции
Определение чётных и нечётных функций. Алгоритм исследования функции на чётность. Свойства и графики таких функций. Плюс пара дополнительных задач.:)
30.11.2021, Студентам, средний уровень
Комплексные числа → Извлечение корня из комплексного числа
Определение корня из комплексного числа и универсальный алгоритм их нахождения. Дополнительно рассмотрены свойства таких корней и графический метод их извлечения.
29.11.2021, Студентам, средний уровень
Комплексные числа → Тригонометрическая форма
Как представить число в тригонометрической форме и зачем это нужно. Правила сложения и умножения чисел в тригонометрической форме. На десерт — формула Муавра.:)
27.11.2021, Студентам, лёгкий уровень
Комплексные числа → Что такое комплексные числа
Первый урок по комплексным числам. Даны все ключевые определения: комплексная единица, комплексная плоскость, арифметические операции над комплексными числами, а также модуль числа и понятие комплексно-сопряжённых.
01.10.2020, Школьникам, лёгкий уровень
Корни → Свойства арифметического квадратного корня
Рассмотрены правила умножения, деления и извлечения корней из точных степеней. Отдельно разобрана работа с переменными под корнем и возникающие в этом случае проблемы.
10.09.2020, Школьникам, сложный уровень
Задачи с параметром → Знаки квадратного трёхчлена
Большая лекция по аналитическому решению квадратных уравнений с параметром. Рассмотрен универсальный алгоритм, который работает даже тогда, когда графические приёмы бесполезны. Единственный недостаток этого алгоритма — некоторая громоздкость выкладок.
10.09.2020, Школьникам, средний уровень
Производная → Производная сложной функции
Материал для 10—11 классов. Рассмотрена основная формула (как её дают во многих учебниках), приведены 4 дополнительных приёма для быстрого дифференцирования. Домашняя работа — большой комплект задач.
09.09.2020, Школьникам, лёгкий уровень
Урок для 8 класса. Дано определение вписанного угла. Сформулирована и доказана важнейшая теорема о вписанном угле. Приведены важнейшие следствия, с помощью которых решаются практические задачи. Домашняя работа: комплект задач на готовых чертежах для самостоятельного решения.
29.09.2019, Школьникам, лёгкий уровень
Рациональные дроби → Определение рациональной дроби
Определение алгебраической дроби и её простейшие свойства. Дан алгоритм нахождения значения алгебраической дроби при заданных значениях переменных, показаны возможные проблемы. Основное свойство дроби — это отдельный вопрос, он будет рассмотрен в следующем видео.
01.09.2019, Школьникам, лёгкий уровень
Прогрессии → Метод математической индукции
Описана общая схема доказательства по индукции. Разобраны 4 задачи разного уровня сложности.
19.08.2018, Школьникам, лёгкий уровень
Треугольники → Что такое высота в треугольнике
Очередной урок по планиметрии. В этот раз работаем с треугольниками. Вообще, в треугольниках есть три ключевых объекта: высота, медиана и биссектриса. Но именно высота вызывает у большинства учеников наибольшие затруднения. Поэтому разбираемся.:)
08.07.2018, Школьникам, лёгкий уровень
Окружность → Касательная к окружности и её свойства
Сегодня новый урок по геометрии. Рассмотрим новый объект: касательную к окружности. Изучим её свойства. И как всегда прорешаем кучу задач. Сразу скажу: хоть урок и отнесён к категории лёгких, материала получилось много, а некоторые задачи в домашней работе покажутся вам отнюдь не лёгкими. Но, как известно, тяжело в учении — легко в бою.:)
02.06.2018, Школьникам, лёгкий уровень
Треугольники → Биссектриса угла треугольника
Это первый урок из серии, посвящённой биссектрисе угла. Он самый простой: мы просто рассмотрим определение биссектрисы и докажем её ключевое свойство. Жесть будет позже.:)
21.05.2018, Студентам, лёгкий уровень
Матрицы → Умножение матриц и его свойства
Это одна из самых нелюбимых тем для студентов, только начинающих изучать линейную алгебру. Правда, они ещё не знают, что впереди их ждут определители, обратные матрицы... впрочем, не будем о грустном. Сегодня займёмся умножением.:)
15.02.2018, Студентам, средний уровень
Определение обратной матрицы и её свойства. Рассмотрены два способа нахождения обратной матрицы, а также несколько практических приложений.
08.02.2018, Студентам, средний уровень
Матрицы → Что такое определитель
Для матриц 2x2, 3x3 и произвольного размера. Определение и важнейшие свойства. Плюс немного теории из смежных тем для лучшего понимания.
04.02.2018, Школьникам, средний уровень
Модуль → Как решать неравенства с модулем
Большой урок, в котором рассмотрены сразу четыре способа решения неравенств с модулем. Читайте, смотрите, решайте задачи — и никакие модули вам будут не страшны.:)
25.01.2018, Школьникам, средний уровень
Неравенства → Решение дробно-рациональных неравенств
Большой урок, посвящённый решению рациональных неравенств и связанных с этим проблемам.
12.11.2017, Школьникам, лёгкий уровень
Неравенства → Метод интервалов
Длинный урок, посвященный решению простых неравенств методом интервалов. В этом уроке я постараюсь обосновать, почему метод интервалов выгоднее прямого перебора знаков.
10.10.2017, Школьникам, средний уровень
Треугольники → Теорема Менелая и её применение
Одни считают эту теорему очень сложной. Другие — чуть чуть ли не откровением. На самом деле теорема Менелая — это просто ещё один опорный факт в геометрии. Но часто случается так, что именно она выручает нас в тех задачах, где другие методы оказываются бесполезны.
28.04.2017, ЕГЭ-2025, средний уровень
17. Задачи с параметром → Графическое решение сложных задач
Продолжаем марафон. Сегодня разбираем задание 18 — графическое решение нестандартных систем.